13 一个质点在时刻 $\mathbf{a}$ ( $\text{m s}^{-2}$ 的加速度 $t$ 由下式给出 $\mathbf{a} = (1 + t)\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ 。在 $t = 0$ 时，其位移 $\mathbf{r}$ 为零，其速度 $\mathbf{V}$ ( $\text{m s}^{-1}$ 为 $\mathbf{i} - \mathbf{j}$ 。求该质点在时刻 $t$ 的位移。

14 固体中某一点处的温度梯度 $u$ 为

$$u(x, t) = t^{-1/2}e^{-x^2/4kt}$$

其中 $k$ 是一个常数。验证

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$

15 证明由下式定义的曲面

$$z^2 = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) - 1$$

和

$$z = 1/xy$$

相交，并且它们正交。

16 塔架顶部的高度 $h$ 通过在距离塔架底部水平距离 $\alpha$ 的一点处测量其仰角 $s$ 来计算。求由于 $h$ 和 $s$ 的微小误差引起的误差 $\alpha$ . 若 $s$ 和 $\alpha$ 分别取为 20 m 和 $30^\circ$ 而正确值分别为 19.8 m 和 $30.2^\circ$ ，求计算所得高度产生的误差和相对误差。

17 一段导线的电阻由下式给出

$$R = \frac{k\rho L}{D^2}$$

其中 $k$ 是一个常数。 $L$ 以 $0.4% \text{ min}^{-1}$ , $\rho$ 的速率增加， $0.01% \text{ min}^{-1}$ 以速率增加， $D$ 正以以下速率减少 $0.1% \text{ min}^{-1}$ 。此时电阻以多大的百分比速率 $R$ 增加？

18 金属结构的挠度 $H$ 可以使用以下公式计算

$$H = \sqrt{\left(\frac{I\rho^4 D^2 L^{3/2}}{20g}\right)}$$

其中 $I$ , $\rho$ , $D$ 和 $L$ 分别为惯性矩、密度、直径和长度，而 $g$ 为重力加速度。如果当 $H$ 增加 $I$ 时，的值保持不变，则 $0.1%$ , $\rho$ 乘以 $0.2%$ 和 $D$ 减少 $0.3%$ ，则 $L$ 需要变化百分之几？

19 在使用公式计算交流电路的功率时 $W = EI\cos\phi$ ，误差为 $+1%$ （在 $I$ , $-0.7%$ 中）、 $E$ （在 $+2%$ 中）以及 $\phi$ 出现。求计算值的百分比误差 $W$ 当 $\phi = \frac{1}{3}\pi$ rad。

20 (a) 证明 $u = x^3 - 3xy^2$ 满足

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

(b) 已知

$$u = x^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - y^2 \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$$

求值

$$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}$$

用 $u$ 表示。

21 验证 $z = \ln\sqrt{x^2 - y^2}$ 满足方程

$$\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = \frac{1}{(x - y)^2}$$

22 (a) 求正常数的值 $c$ 该函数满足方程

$$y = \frac{k}{2\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{k}\right) \sin\left(\frac{2\pi t}{k}\right)$$

满足方程

$$c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$

(b) $V$ 是自变量的函数 $x$ 和 $y$ 。已知 $x = r \cos\theta$ 和 $y = r \sin\theta$ ，求 $\partial V/\partial\theta$ 和 $\partial V/\partial r$ 用 $\partial V/\partial x$ 和表示 $\partial V/\partial y$ , 并由此证明

$$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{1}{r} \left( r \sin\theta \frac{\partial V}{\partial r} + \cos\theta \frac{\partial V}{\partial \theta} \right)$$

和

$$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{r} \left( r \cos\theta \frac{\partial V}{\partial r} - \sin\theta \frac{\partial V}{\partial \theta} \right)$$

23 一条曲线 $C$ 由参数方程在三维空间中给出，形式为 $(x(t), y(t), z(t))$ ，其中 $t$ 是一个实参数，且 $a \leq t \leq b$ 。证明方程