升力（ $\alpha v^2$ ）等于飞机的重量（ $mg$ ）。对于真实飞机，我们的模型可能需要更加精细，例如包括机翼的迎角，它在起飞滑跑过程中会随着气动力与地面力之间平衡的变化以及飞行员（或自动驾驶仪）调整操纵面设置而变化。

10.2.2 生活热水供应

第二个例子涉及对热水储水箱中水加热过程的建模。图 10.2 示意性地展示了一个“间接式”家用热水箱。在这种热水系统设计中，中央供暖锅炉或其他一次热源向热水储水箱内的换热器（呈盘管形式）供应热水。水箱中的主体水量由流经换热器盘管的热水加热。我们希望计算水箱中的热水升温的速度。

我们将假设，在加热过程中，作为良好的近似，对流确保水箱中的主体水充分混合并处于均匀温度 $T_w$ 。加热用水以速度 $U$ 流入换热器，温度为 $T_{in}$ 。换热器的出水温度为 $T_{out}$ 。换热器管的横截面积为 $A$ 。因此，加热用水流经换热器的质量流量为 $\rho AU$ ，其中 $\rho$ 是水的密度，热水散热速率为 $\rho AU(T_{in} - T_{out})c$ ，其中 $c$ 是水的比热容。水箱中主体水的热容为 $\rho Vc$ ，其中 $V$ 是水箱的体积，因此主体水的吸热速率由下式给出

$$\rho V_c \frac{dT_w}{dt}$$

水箱保温良好，因此作为一阶近似，我们假设水箱外壳的散热可以忽略不计。因此主体水的吸热速率等于热水的散热速率，即

$$AU(T_{\text{in}} - T_{\text{out}}) = V \frac{dT_{\text{w}}}{dt} \quad (10.4)$$

图 10.2
“间接”式热水箱。