我们还应预期，流入热水器的热水与流出热水器的热水之间的温差，在水箱中的水温越低时越大。若假设这两个量成正比，则可将这一建模假设表示为

$$T_{\text{in}} - T_{\text{out}} = \alpha(T_{\text{in}} - T_{\text{w}}) \quad (10.5)$$

其中 $\alpha$ 是比例常数。在式 (10.4) 与 (10.5) 之间消去 $T_{\text{out}}$ ，得到方程

$$V \frac{dT_w}{dt} + AU\alpha T_w = AU\alpha T_{in} \quad (10.6)$$

于是我们得到一个微分方程，它将水箱中水的温度及其对时间的导数与锅炉供给的热水温度联系起来。该方程还包含由系统特性决定的若干常数。稍后在问题 35、练习 10.5.11 中，我们将看到如何求解该方程以求得 $T_w$ 关于时间的函数。

10.2.3 水力发电

我们的第三个例子来自水利工程领域。图 10.3 展示了一个水力发电厂的横截面。水被拦蓄在大坝后面，通过管道引出并驱动发电机。为了控制发电功率，在与发电机串联的管路上还装有一个控制阀。从大坝到发电机的管道通常相当长且横截面很大，因此其中容纳着数吨计的水。所以，当控制阀开启或关闭时，发电功率并不会瞬时增大或减小。由于管道中大量的水需要加速或减速，系统可能需要几分钟甚至几十分钟才能达到新的平衡流量和发电水平。我们希望预测当控制阀开度改变时系统的行为。

管道入口处的压强为大气压加上 $\rho g h$ ，其中 $\rho$ 是大坝中水的密度， $h$ 是入口在水面以下的深度。已知对于管道中的流动，在良好近似下，体积流量与管道两端的压强差成正比。我们将其表示为

$$Q = \alpha \Delta p_1$$

其中 $Q$ 是通过管道的体积流量， $\alpha$ 是一个常数， $\Delta p_1$ 是管道两端的压强差。还已知压强

图 10.3
水力发电厂。