涡轮机（此处指发电机）上的损失与流量（通过涡轮机的体积流量）成正比，因此我们可以写出

$$\Delta p_2 = \beta Q$$

其中 $\Delta p_2$ 是发电机上的压力损失， $\beta$ 是发电机的一个特性参数。当然，涡轮机的流量必须等于供给涡轮机的管道中的流量。类似地，控制阀两端的压差也与其流量成正比，因此我们有

$$\Delta p_3 = \gamma Q$$

其中 $\Delta p_3$ 是阀门上的压力损失， $\gamma$ 是一个常数，其值随控制阀的设定而变化。管道入口与控制阀出口之间的总压差为 $\rho g h$ 。因此管道两端的压差为 $\rho g h - \Delta p_2 - \Delta p_3$ 。如果该压差超过 $\Delta p_1$ ，即维持管道内当前流量所需的压差，那么管道中的水的质量将加速，通过系统的体积流量将增加；如果它小于 $\Delta p_1$ 那么水的质量将减速，体积流量将减小。管道中水所受的净力为超额压差乘以管道的横截面积， $A$ ，比如说。水的质量为 $\rho A d$ ，其中 $d$ 为管道的长度，而 $Q$ ，即体积流量，为 $vA$ ，其中 $v$ 为管道中水的流速。因此我们可以写出

$$(\rho gh - \Delta p_1 - \Delta p_2 - \Delta p_3)A = \rho dA \frac{dv}{dt}$$

假设管道的横截面积恒定，并将 $\Delta p_1$ , $\Delta p_2$ 和 $\Delta p_3$ 代入，我们可以将其改写为

$$\left(\rho gh - \frac{Q}{\alpha} - \beta Q - \gamma Q\right)A = \rho d \frac{dQ}{dt}$$

也就是说，

$$\frac{\rho d}{A} \frac{dQ}{dt} + \left( \frac{1}{\alpha} + \beta + \gamma \right) Q = \rho gh \quad (10.7)$$

我们发现，这个简单的水力发电系统模型得到一个方程，其中包含流经系统的体积流量及其时间导数，当然还有表示系统物理特性的各种常数。这些常数中的一个， $\gamma$ 由控制整个系统的阀门的开度决定。稍后我们还将看到（习题 10.5.11 中的第 36 题）如何求解 (10.7) 以求得流量 $Q$ 作为时间的函数。

10.2.4 简单电路

第四个例子来自电气工程。一个电阻、一个电感和一个电容与开关和电池串联成电路，如图 10.4 所示。该开关是一个弹簧偏置开关，释放后立即移动到触点 B。当开关被按在触点 A 上时，电路中有电流流动。释放后，电路最终必然趋于静止，不再有电流流动。那么衰减到静止状态的方式是怎样的呢？