由实验可知， $V = iR$ 这一关系在电阻两端的电势差与流过阻值为 $R$ 的纯电阻的电流之间成立。同样地，我们知道对于电容为 $C$ 的纯电容器，有 $V = q/C$ ，其中 $V$ 是电容器两端的电势差， $q$ 是其上的电荷；而对于电感为 $L$ 的纯电感器，有 $V = Ldi/dt$ 。如果我们假设电路元件分别是纯电阻、纯电感器和纯电容器，并且开关以及连接各元件的导线的电阻、电容和电感都可以忽略不计，那么当开关与 B 接触时，电路回路的总电势差必为零，于是我们有

$$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = 0$$

这个微分方程似乎关联了两个不同的量：电路中流动的电流 i 和电容器上的电荷 q。当然，这两个量并不是相互独立的。只要有电流流动，电容器上的电荷就必然在增加或减少（取决于电流流动的方向）。电荷守恒原理告诉我们，电流等于电荷的变化率；也就是说，我们必须有

$$i = \frac{dq}{dt} \quad (10.8)$$

我们可以用以下两种方式之一来使用它：要么消去 q，此时我们得到积分微分方程

$$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C} \int i , dt = 0$$

要么消去 i，此时我们得到微分方程

$$L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = 0$$

或者，将这两个方程中的任意一个对时间求导，我们得到

$$L \frac{d^2 i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0 \quad (10.9)$$

这些方程当然是等价的，但最后一种形式可能是三者中最常用且最易于处理的。

于是我们发现，对 LCR 电路的简单分析会得到关于其中一个变量的微分方程：要么是电路中电容器上的电荷，要么是电路中的电流。一旦求解该方程得到其中一个量，另一个量便可由 (10.8) 求得。方程 (10.9) 是一类在工程应用中广泛出现的微分方程的一个例子。求解这类方程的一般方法将在后面给出（见 10.8 节）。

10.3 常微分方程的分类

在上一节中，我们从工程科学的不同领域选取问题建立了数学模型。每一个问题都引出了一个常微分方程。

图 10.4 电感、电容、电阻（LCR）电路。