求解微分方程有许多技巧——不同的方法适用于不同类型的方程——因此，在继续学习这些方法之前，有必要了解常微分方程的各种类别和分类。这样我们才能识别方程的总体特征，并确定哪些技巧对求解该方程有用。

10.3.1 自变量与因变量

我们必须理解的第一种分类是微分方程中出现的变量的分类。求导所针对的变量称为自变量，而被求导的变量称为因变量。这一术语反映了这样一个事实：微分方程实际表达的是因变量（或多个因变量）依赖于自变量的方式。单个常微分方程有一个自变量和一个因变量。正如代数方程可能以必须联立求解的方程组形式出现一样，我们也可以有耦合的常微分方程组。在这种情况下，将只有一个自变量，但有多个因变量。

例 10.1 在常微分方程

$$\frac{d^2f}{dx^2} - 4x \frac{df}{dx} = \cos 2x$$

中，自变量是 x，因变量是 f。在这对耦合常微分方程

$$6 \frac{dx}{dt} - 2 \frac{dy}{dt} - 2x + y = 2 \sin t$$

$$4\frac{dx}{dt} + 3\frac{dy}{dt} - x + 2y = \cos t$$

中，自变量是 t，因变量是 x 和 y。

10.3.2 微分方程的阶

微分方程的另一种分类是按其阶数分类。微分方程的阶是方程中出现的最高阶导数的阶数。方程的阶不受导数可能被提升的任何幂次的影响。

例 10.2 ^d

$$\frac{d^2 f}{dx^2} - 4x \frac{df}{dx} = \cos 2x$$

是一个二阶常微分方程。该耦合常微分方程组

$$4 \frac{dx}{dt} + 3 \frac{dy}{dt} - x + 2y = \cos t$$

$$6 \frac{dx}{dt} - 2 \frac{dy}{dt} - 2x + y = 2 \sin t$$