都是一阶方程，方程

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 4\frac{dx}{dt} = 0$$

也是如此，尽管 (dx/dt) 2 中含有平方项。

10.3.3 线性与非线性微分方程

微分方程还可分为线性与非线性两类。我们可以非正式地将线性方程定义为：因变量及其导数不以乘积、幂或非线性函数形式出现的方程。稍后我们将遇到线性微分方程的更正式定义（见第 10.8 节）。非线性方程则是不满足线性条件的方程。线性方程是一个重要的类别，因为它们具有有用的简化性质。工程科学中出现的许多非线性方程按其原有形式难以求解，但就实际工程目的而言，可以通过将其替换为近似程度很高的线性方程——至少在某个感兴趣的区域内——然后研究该线性近似的解来求解。稍后我们将进一步讨论这一点。

例 10.3 ^d

$$\frac{d^2f}{dx^2} - 4x \frac{df}{dx} = \cos 2x$$

以及耦合微分方程

$$6 \frac{dx}{dt} - 2 \frac{dy}{dt} - 2x + y = 2 \sin t$$

$$4 \frac{dx}{dt} + 3 \frac{dy}{dt} - x + 2y = \cos t$$

都是线性常微分方程。

$$4 \frac{dx}{dt} + \sin x = 0$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} + x \frac{dx}{dt} = 4 \sin t$$

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 4\frac{dx}{dt} = 0$$

都是非线性微分方程：第一个是因为导数 dx/dt 被平方，第二个是因为因变量 x 与其导数之间存在乘积，第三个是因为存在因变量的非线性函数 sin x。