10.3.4 齐次与非齐次方程

线性方程还可以进一步分类：齐次方程与非齐次方程的区分。在我们到目前为止给出的所有例子中，微分方程都被整理成所有含因变量的项位于等号左边，而只含自变量和常数项的项位于等号右边。这是一种标准的整理方式，有助于识别方程。具体来说，当线性方程按这种方式整理时，右边为零的方程称为齐次方程，右边非零的方程称为非齐次方程。换句话说，齐次方程中的每一项都包含因变量或其某个导数。而在非齐次方程中，至少有一项不包含因变量或其任何导数。

例 10.4 方程

$$\frac{dx}{dt} + 4x = 0$$

和

$$4 \frac{dx}{dt} + (\sin t)x = 0$$

都是齐次常微分方程，而

$$\frac{d^2x}{dt^2} + t \frac{dx}{dt} = 4 \sin t$$

和

$$\frac{d^2f}{dx^2} - 4x \frac{df}{dx} = \cos 2x$$

都是非齐次常微分方程。

例 10.5 对 10.2 节工程实例中导出的方程 (10.3)、(10.6)、(10.7) 和 (10.9) 进行分类。

• 解 (a) 方程 (10.3) 是一个二阶非线性常微分方程，其因变量为 s，自变量为 t。
  • (b) 方程 (10.6) 是一个一阶线性非齐次常微分方程，其因变量为 Tw，自变量为 t。
  • (c) 方程 (10.7) 是一个一阶线性非齐次常微分方程，其因变量为 Q，自变量为 t。
  • (d) 方程 (10.9) 是一个二阶线性齐次常微分方程，其因变量为 i，自变量为 t。