10.5.1 几何视角

大多数一阶微分方程都可以表示为如下形式

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x) \quad (10.12)$$

将方程表示成这种形式意味着，对于 t–x 平面中任何 f(t, x) 有定义的点，我们都可以计算出该点处 dx/dt 的值。如果我们对 t–x 平面中的一片网格点都这样做，就可以画出一幅如图 10.5 所示的图。在每个点处画出一条斜率为 dx/dt 的短线段。这样的图称为该微分方程的方向场。显然，t–x 平面的每个点都有一个梯度方向，但同样显然的是，实际只能画出有限个方向，正如我们在图 10.5 中所做的那样。图 10.5 中画出方向场的方程实际上是

$$\frac{dx}{dt} = x(1 - x)t$$

但对任何能表示成 (10.12) 形式的方程，都可以进行同样的过程。

微分方程的解是联系 x 和 t 的函数（即 t–x 平面中的一条曲线），它满足该微分方程。由于解函数满足微分方程，解曲线具有这样的性质：其梯度与方程方向场在曲线上每一点处的方向相同；换句话说，方向场由与解曲线相切的线段组成。有了这一认识，就相当容易推断出图 10.5 中所示方向场对应的方程的解曲线大致是什么样子。一些典型的解曲线如图 10.6 所示。

继续这一过程，我们可以用无穷多条不同的解曲线覆盖整个 t–x 平面。每条解曲线都是该微分方程的一个特解。由于我们考虑的是一阶方程，我们期望通解中包含一个未知常数。给该常数赋予一个特定值，就可以从通解中得到这一条或那一条特解曲线。换句话说，带有未知常数的通解表示一个解曲线族。图 10.6 中画出的曲线就是该族的特定成员。

图 10.5
方程的方向场
$dx/dt = x(1 - x)t$ .