图 10.7
方向场以及
某些解曲线
属于 $dx/dt = -x/2$ .

图 10.6
解
$dx/dt = x(1 - x)t$
叠加在
其方向场上。

例 10.12 画出微分方程的方向场

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{2}x$$

验证 $x(t) = Ce^{-t/2}$ 是该微分方程的通解。求满足 $x(0) = 2$ 的特解，并将其画在方向场上。对满足 $x(3) = -1$ 的解做同样的操作。

解 方向场如图 10.7 所示。将函数 $x(t) = Ce^{-t/2}$ 代入方程立即验证了它是解。初始条件 $x(0) = 2$ 意味着 $C = 2$ . 该条件 $x(3) = -1$ 意味着 $C = -e^{3/2}$ 。这两条曲线如图 10.7 所示，并且可以很容易地看出它们在每个点上都沿着方向场的方向。