绘制方程的方向场通常不用作求解微分方程的方法（不过，正如我们稍后将看到的，求解常微分方程最简单的数值方法之一可以解释为沿方向场中的线行进）。然而，它是理解方程及其解的性质的一个非常有价值的辅助工具。借助计算机，特别是计算机图形学，绘制方向场会变得非常简单。在对微分方程的求解遇到困难或不确定的情况下，绘制方向场往往能极大地启发对问题的理解。

10.5.2 习题

7 绘制微分方程的方向场

$$\frac{dx}{dt} = -2t$$

求该方程的解。绘制满足下列条件的特解： $x(0) = 2$ 以及 $x(2) = -3$ ，并检验这些解与你的方向场一致。

8 绘制微分方程的方向场

$$\frac{dx}{dt} = t - x$$

验证 $x = t - 1 + \text{Ce}^{-t}$ 是该方程的解。绘制满足下列条件的解曲线： $x(0) = 2$ 以及 $x(4) = 0$ ，并检验这些解与你的方向场一致。

9 绘制方程的方向场

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{2x}{t-3}$$

绘制由方向场提示的一些解曲线。验证该方程的通解为 $x = C/(t - 3)^2$ 并检查该曲线族是否与你在方向场上画出的解曲线相似。

10 画出方程的方向场

$$\frac{dx}{dt} = \frac{1-t}{t}x$$

画出由方向场提示的一些解曲线。验证该方程的通解是 $x = Cte^{-t}$ 并检查该曲线族是否与你在方向场上画出的解曲线相似。

10.5.3 可分离微分方程的求解

到目前为止，我们只求解过像 (10.10) 和 (10.11) 这样解显而易见的微分方程。现在我们将介绍一些技巧，使我们能够求解稍难一些的方程。这些技巧基本上都是将微分方程变形为其解变得显而易见的形式。第一种方法适用于具有所谓可分离形式的方程。如果函数 $f(t, x)$ 在一阶微分方程中

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x)$$