使得该方程可以通过（代数运算）变形为如下形式

$$g(x)\frac{dx}{dt} = h(t) \quad (10.13)$$

则该方程称为可分离方程。我们可以通过以下论证求出此类方程解的表达式。

对 (10.13) 两边关于 t 积分，我们得到

$$\int g(x) \frac{dx}{dt} dt = \int h(t) dt \quad (10.14)$$

现在令

$$G(x) = \int g(x) , dx$$

则

$$\frac{dG(x)}{dx} = g(x)$$

且

$$\frac{d}{dt}G(x) = \frac{dG(x)}{dx} \frac{dx}{dt} = g(x) \frac{dx}{dt}$$

对该方程两边关于 t 积分，我们得到

$$G(x) = \int g(x) \frac{dx}{dt} dt$$

因此我们有

$$\int g(x) \frac{dx}{dt} dt = G(x) = \int g(x) dx$$

最后，将 gx xg ^x x t ()d 替换 (10.14) 中的 () t d d d，我们得到

$$\int g(x) , dx = \int h(t) , dt \quad (10.15)$$

于是我们证明了：如果一个微分方程可以变形为 (10.13) 的形式，则 (10.15) 成立。如果函数 g(x) 和 h(t) 是可积的，那么 (10.15) 就给出该微分方程的一个解。

例 10.13 求解方程

$$\frac{dx}{dt} = 4xt, \quad x > 0$$