解 该方程可写为

$$\frac{1}{x} \frac{dx}{dt} = 4t$$

因此是一个可分离变量方程。其解为

$$\int \frac{dx}{x} = \int 4t , dt$$

即

$$\ln x = 2t^2 + C$$

或

$$x = e^{2t^2+C} = e^{2t^2}e^C$$

$$= C' e^{2t^2}, \quad \text{where } C' = e^C$$

注： 情形 $x < 0$ 和 $x = 0$ 可以通过分别允许 $C'$ 取负值和零来求解。

注意这里引入了一个积分常数。我们可能会预期出现这样的常数，因为对等式两边都进行了积分。然而，如果引入了两个常数，它们可以合并为方程左边或右边的一个常数，所以实际上只需要一个常数。

11 求下列微分方程的通解：

$$(a) \frac{dx}{dt} = k.$$

$$(a) \frac{dx}{dt} = kx \qquad (b) \frac{dx}{dt} = 6xt^2$$

(c) $$\frac{dx}{dt} = \frac{b}{t}$$

$$(c) \frac{dx}{dt} = \frac{bx}{t} \qquad (d) \frac{dx}{dt} = \frac{a}{xt}$$

12 求下列初值问题的解：

$$(a) \frac{dx}{dt} = \frac{\sin t}{x^2}, \quad x(0) = 4$$

$$(b) \ t^2 \frac{dx}{dt} = \frac{1}{x}, \quad x(4) = 9$$

13 求下列微分方程的通解：

$$(a) \sqrt{t} \frac{dx}{dt} = \sqrt{x} \quad (b) \frac{dx}{dt} = (1 + \sin t) \cot x$$

$$(c) \frac{dx}{dt} = xte^{t^2} \qquad (d) x^2 \frac{dx}{dt} = e^t$$

(e) $$\frac{dx}{dt} = ax(x - 1)$$ (f) $x \frac{dx}{dt} = \sin t$

14 求解下列初值问题：

$$(a) \quad \frac{dx}{dt} = \frac{t^2 + 1}{x + 2}, \quad x(0) = -2$$

$$(b) \quad t(t-1)\frac{dx}{dt} = x(x+1), \quad x(2) = 2$$

$$(c) \quad \frac{dx}{dt} = (x^2 - 1) \cos t, \quad x(0) = 2$$

$$(d) \quad \frac{dx}{dt} = e^{x+t}, \quad x(0) = a$$

$$(e) \quad \frac{dx}{dt} = \frac{4 \ln t}{x^2}, \quad x(1) = 0$$

10.5.4 习题

可以使用 MATLAB 来检验你对以下问题的答案。