15 某化学反应由如下微分方程控制

$$\frac{dx}{dt} = K(5 - x)^2$$

其中 $x(t)$ 是时刻 $t$ 时化学物质的浓度。初始浓度为零，且测得 5 秒时的浓度为 2。求反应速率常数 $K$ 并求 10 秒和 50 秒时的浓度。浓度的最终值是多少？

16 某跳伞者的垂直速度由如下微分方程控制

$$m \frac{dv}{dt} = mg - Kv^2$$

其中 $K$ 是跳伞者的阻力系数。如果跳伞者在时刻 $t = 0$ 以零垂直速度离开飞机，求她何时达到最终速度的一半。

17 某化学物质 $A$ 由化学物质 $B$ 和 $C$ . 假设 $B$ 和 $C$ 的量足以维持反应进行，则在时刻 $A$ 生成的 $t$ 的量由如下微分方程控制

$$\frac{dA}{dt} = K(1 - \alpha A)^{-7}$$

如果在时刻 $A$ 没有 $t = 0$ 存在，求时刻 $A$ 时 $t$ .

的量的表达式。正如本书其他地方所述，MATLAB 可用于求解上述任何方程。有时给出的答案可能与本书末尾“习题答案”部分给出的答案在精确形式上有所不同。例如，MATLAB 对第 14(e) 题给出三个答案。这是因为该微分方程可以解得 $x(t)^3 = 12[t(\ln(t) - 1) + 1]$ . 当然，实数量有三个立方根：一个实根和两个共轭复根。有时，问题的物理背景会表明实根才是所关心的根。在本章的答案中，当存在多个根时，通常只给出主根。

10.5.5 求解 dx dt = f q x t r 形式的微分方程

有些微分方程虽然不是可分离形式，但可以通过变量代换转化为可分离方程。最著名的例子是形如下式的微分方程

$$\frac{dx}{dt} = f\left(\frac{x}{t}\right) \quad (10.16)$$

注： 形如 (10.16) 的方程有时被称为“齐次方程”，但这里 homogeneous（齐次）一词的用法与我们在 10.3.4 节中给出的齐次方程的定义不同。

如果作代换 $y = x/t$ 则由于 $x = yt$ 因此，根据乘积求导法则，

$$\frac{dx}{dt} = t \frac{dy}{dt} + y$$