我们得到

$$t \frac{dy}{dt} + y = f(y)$$

即，

$$\frac{1}{f(y) ) - y} \frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}$$

这是一个可分离变量形式的方程。

例 10.14 求解方程

$$t^2 \frac{dx}{dt} = x^2 + xt, \quad t > 0, x \neq 0$$

解 将方程两边同除以 t 2，得到

$$\frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{t^2} + \frac{x}{t}$$

其形式为 (10.16)。作代换 $y = x/t$ 得到

$$t \frac{dy}{dt} + y = y^2 + y$$

即，

$$\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}$$

这是一个可分离变量形式的方程。该方程的解由下式给出

$$\int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dt}{t}$$

即，

$$-\frac{1}{y} = \ln t + C \quad \text{or} \quad y = \frac{-1}{\ln t + C} = \frac{x}{t}$$

所以

$$x = \frac{-t}{\ln t + C}$$

注意： 条件 $t > 0$ 和 $x \neq 0$ 意味着在整个求解过程中除以 $t$ ，之后再除以 $y$ 是有效的。也可以不加这些限制求解，这留给读者作为练习。