10.5.6 练习题

同样，可以使用 MATLAB 来检验你对以下所有问题的答案。

18 求下列微分方程的通解：

(a) $xt \frac{dx}{dt} = x^2 + t^2$

(c) $t \frac{dx}{dt} = \frac{x^2 + xt}{t}$

(b) $x^2 \frac{dx}{dt} = \frac{t^3 + x^3}{t}$

(b) $xt \frac{dx}{dt} = 2(x^2 + t^2)$ , $x(2) = -1$

(c) $t \frac{dx}{dt} = te^{-x/t} + x$ , $x(2) = 4$

(d) $xt \frac{dx}{dt} = t^2 e^{-x^2/t^2} + x^2$ , $x(1) = 2$

(e) $t^2 \frac{dx}{dt} = x^2 + 2xt$ , $x(1) = 4$

19 求下列初值问题的解：

$x^3 t \frac{dx}{dt} = t^4 + x^4$ , $x(1) = 4$

22 证明，通过作代换 $y = at + bx + c$ ，形如

$\frac{dx}{dt} = f(at + bx + c)$

20 求下列微分方程的通解：

(a) $2xt \frac{dx}{dt} = -x^2 - t^2$

(b) $t \frac{dx}{dt} = x + t \sin\left(\frac{x}{t}\right)$

(c) $t \frac{dx}{dt} = \frac{3t^2 - x^2}{t - 2x}$

(d) $t \frac{dx}{dt} = x + t \tan\left(\frac{x}{t}\right)$

(e) $\frac{dx}{dt} = \frac{x + t}{x - t}$

(f) $t \frac{dx}{dt} = x + t e^{x/t}$

的方程可以化为可分离形式。进而求出下列微分方程的通解：

(a) $\frac{dx}{dt} = \frac{t - x + 2}{t - x + 3}$

(b) $2 \frac{dx}{dt} = -\frac{(t + 2x)}{t + 2x + 1}$

(c) $\frac{dx}{dt} = \frac{1 - 2x - t}{4x + 2t}$

(d) $\frac{dx}{dt} = \frac{x - t + 2}{x - t + 1}$

(e) $\frac{dx}{dt} = 2t + x + 2$

(f) $2 \frac{dx}{dt} = 2x - t + 5$

(g) $\frac{dx}{dt} = 4t^2 + 4xt + x^2 - 2$

21 求下列初值问题的解：

(a) $\frac{dx}{dt} = \frac{x^3 - xt^2}{t^3}$ , $x(1) = 2$

10.5.7 恰当微分方程的解法

某些一阶微分方程具有一种形式（或可以被化为一种形式），这种形式称为恰当。由于这类方程很容易求解，因此能够识别它们，或者更进一步，拥有一种检验它们的方法，将会很有用。在本节中，我们将看到如何求解恰当方程，并建立一种使我们能够识别它们的检验方法。

恰当方程的求解依赖于以下观察：如果 $h(t, x)$ 是变量 $x$ 和 $t$ ，且变量 $x$ 本身是 $t$ 的函数，那么，根据微分链式法则，

$$\frac{dh}{dt} = \frac{\partial h}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial h}{\partial t}$$

现在，如果一个一阶微分方程具有如下形式

$$p(t, x) \frac{dx}{dt} + q(t, x) = 0 \tag{10.17}$$