并且可以找到一个函数 h(t, x) 使得

$$\frac{\partial h}{\partial x} = p(t, x) \quad \text{and} \quad \frac{\partial h}{\partial t} = q(t, x) \quad (10.18)$$

则 (10.17) 等价于方程

$$\frac{dh}{dt} = 0$$

且解必为

$$h(t, x) = C$$

例 10.15 求解微分方程

$$2xt \frac{dx}{dt} + x^2 - 2t = 0$$

解 若 $h(t, x) = x^2t - t^2$ 则

$$\frac{\partial h}{\partial x} = 2xt \quad \text{and} \quad \frac{\partial h}{\partial t} = x^2 - 2t$$

于是微分方程化为如下形式

$$\frac{d}{dt}(x^2t - t^2) = 0$$

且解为

$$x^2t - t^2 = C$$

假设 $t > 0$ 和 $C > 0$ 解可以写成

$$x = \pm \sqrt{\left(t + \frac{C}{t}\right)}$$

因此，只要能猜出一个满足条件 (10.18) 的函数 h(t, x)，我们就能求解形如 (10.17) 的方程。如果这样的函数不能立即看出，则有两种可能：其一是不存在这样的函数；其二是确实存在这样的函数，只是我们没有看出它是什么。下面我们将建立一种检验方法，使我们能够回答是否存在合适的函数 h(t, x) 这一问题，并给出一种程序，使我们在该函数存在时能够找到它。如果

$$\frac{\partial h}{\partial x} = p(t, x) \quad \text{and} \quad \frac{\partial h}{\partial t} = q(t, x)$$

则

$$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial t} = \frac{\partial q}{\partial x}$$