因此，要使满足 (10.18) 的函数 h(t, x) 存在，函数 p(t, x) 和 q(t, x) 必须满足

$$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial x} \quad (10.19)$$

如果 p(t, x) 和 q(t, x) 不满足这个条件，那么寻求满足 (10.18) 的函数 h(t, x) 就毫无意义。

如果 p(t, x) 和 q(t, x) 确实满足 (10.19)，我们如何找到满足 (10.18) 的函数 h(t, x)，从而求解方程 (10.17)？可能像例 10.14 那样，该函数是显而易见的。如果不是，则可以通过独立求解两个方程 (10.18)，然后比较所得结果来得到它，如例 10.15 所示。

例 10.16 求解微分方程

$$(\ln \sin t - 3x^2) \frac{dx}{dt} + x \cot t + 4t = 0$$

解 首先，由于

$$\frac{\partial}{\partial t} (\ln \sin t - 3x^2) = \cot t = \frac{\partial}{\partial x} (x \cot t + 4t)$$

一个合适的函数 h(t, x) 可能存在。现在

$$\frac{\partial h}{\partial x} = \ln \sin t - 3x^2 \quad \text{gives} \quad h = x \ln \sin t - x^3 + + C_1(t)$$

以及

$$\frac{\partial h}{\partial t} = x \cot t + 4t \quad \text{gives} \quad h = x \ln \sin t + 2t^2 + C_2(x)$$

其中 C1(t) 和 C2(x) 分别是 t 和 x 的任意函数。比较两个结果，我们看到

$$h(t, x) = x \ln \sin t - x^3 + 2t^2$$

满足 (10.18)，因此该微分方程的解为

$$x \ln \sin t - x^3 + 2t^2 = C$$

注意，在这种情况下，解并不是用 t 表示 x(t) 的显式表达式，而是联系 x(t) 和 t 的隐式方程：确切地说，是一个系数为 t 的函数的关于 x 的三次多项式。

如果给定了初始条件，比如说 $x(\frac{1}{2}\pi) = 3$ ，我们会将该初始条件施加于隐式方程上，从而得到积分常数的值 $C$ ，因此

$$x(\frac{1}{2}\pi) = 3$$

给予

$$3 \ln \sin \frac{1}{2}\pi - 3^3 + 2 \times 0^2 = C \quad \text{or} \quad 0 - 27 + 0 = C$$

所以 $$x^3 - x \ln \sin t - 2t^2 - 27 = 0$$