23 判断下列各微分方程是否为恰当方程，若是，求其通解：

$$(a) \ x \frac{dx}{dt} + t = 0$$

$$(b) \ x \frac{dx}{dt} - t = 0$$

$$(c) \ (x + t) \frac{dx}{dt} + x - t = 0$$

$$(d) \ (x - t^2) 2) \frac{dx}{dt} - 2xt = 0$$

$$(e) \quad (x - t) \frac{dx}{dt} - x + t - 1 = 0$$

$$(f) \quad (2x + t) \frac{dx}{dt} + x + 2t = 0$$

24 求解下列初值问题：

$$(a) \quad (x - 1) \frac{dx}{dt} + t + 1 = 0, \quad x(0) = 2$$

(b) $$(2x + t) \frac{dx}{dt} + x - t = 0, \quad x(0) = -1$$

$$(c) \quad (2 - xt^2) \frac{dx}{dt} -x^2t=0, \quad x(1)=2$$

(d) $$\cos t \frac{dx}{dt} - x \sin t + 1 = 0, \quad x(0) = 2$$

25 判断下列各微分方程是否为恰当方程，若是，求其通解：

$$(a) \ (x + t) \frac{dx}{dt} - x + t = 0$$

MATLAB 可以求解恰当微分类型的微分方程。此类软件的一个缺点是它可能寻求显式解，这样做会给出形式更复杂、相应地比人工求解所得的解更难理解的答案。例如，求解例 10.16 时，我们会使用

dsolve((log(sin(t)) - 3*x^2)*diff(x,t) + x*cot(t) + 4*t == 0)

例 10.16 中给出的解是一个隐式解，其形式为 $x(t)$ , $x(t)^3 - \ln[\sin(t)]x(t) - 2t^2 + C = 0$ 的三次函数。计算机代数软件包使用求解三次代数方程的一般方法来推导出 $x(t)$ 的显式形式。当然，该三次方程有三个根，所有这些根都比上面给出的隐式解难以直接理解得多。

习题 10.5.8 中的问题原则上可以用 MATLAB 处理。用这种方法得到的一些解可能与答案部分给出的解看起来不同，但通过一些坚持，都可以证明它们是等价的。使用 simplify 命令通常会有所帮助。

10.5.8 习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。