(b) $$\sqrt{t} \frac{dx}{dt} - xt = 0$$

$$(c) \quad [\sin(x + t) + x \cos(x + t)] \frac{dx}{dt} + x \cos(x + t) = 0$$

$$(d) \sin(xt) \frac{dx}{dt} + \cos xt = 0$$

$$(e) \ (1 + te^{xt}) \frac{dx}{dt} + xe^{xt} = 0$$

$$\begin{aligned} (e) \quad & (1 + te^{xt}) \frac{dx}{dt} + xe^{xt} = 0 \ (f) \quad & 2(x + \sqrt{t}) \frac{dx}{dt} + \frac{x}{\sqrt{t}} + 1 = 0 \ & dx \end{aligned}$$

$$(\text{g}) \quad te^{-xt} \frac{dx}{dt} - xe^{xt} = 0$$

$$(h) \quad \frac{t}{x+t} \frac{dx}{dt} + \frac{t}{x+t} + \ln(x+t) = 0$$

26 求下列初值问题的解：

$$(a) \cos(x + t) \left( \frac{dx}{dt} + 1 \right) + 1 = 0, \quad x(0) = \frac{1}{2}\pi$$

$$(b) 3(x + 2t)^{1/2} \frac{dx}{dt} + 6(x + 2t)^{1/2} + 1 = 0,$$

$$x(-1) = 6$$

$$(c) \ x(x^2 - t^2) \frac{dx}{dt} - t(x^2 - t^2) + 1 = 0, \quad x(0) = -1$$

$$(d) \frac{1}{x+t} \frac{dx}{dt} + \frac{1}{x+t} - \frac{1}{t^2} = 0, \quad x(2) = 2$$

27 常数 a、b、e 和 f 必须满足什么条件，才能使微分方程

$$(ax + bt) \frac{dx}{dt} + ex + ft = 0$$

为恰当方程？当这些条件满足时，该方程的解是什么？

28 函数 g(t) 和 h(t) 必须满足什么条件，才能使微分方程

$$g(t) \frac{dx}{dt} + h(t)x = 0$$

为恰当方程？当这些条件满足时，该方程的解是什么？

29 当 $k$ 取何值时，函数 $(x + t)^k$ 是微分方程

$$[(x + t)\ln(x + t) + x]\frac{dx}{dt} + x = 0?$$

的积分因子？

30 当 k 取何值时，函数 t k 是微分方程

$$(t^2 \cos xt) \frac{dx}{dt} + 3 \sin xt + xt \cos xt = 0?$$

10.5.9 线性微分方程的解法

在第 10.3.3 节中我们定义了线性微分方程。最一般的一阶线性微分方程必须具有如下形式

$$\frac{dx}{dt} + p(t)x = r(t) \quad (10.20)$$

其中 p(t) 和 r(t) 是自变量 t 的任意函数。我们首先来看如何求解稍微简单一些的方程

$$\frac{dx}{dt} + p(t)x = 0 \quad (10.21)$$

如果用一个函数 g(t) 乘以整个方程，所得的方程

$$g(t) \frac{dx}{dt} + g(t)p(t)x = 0$$