当……时将精确成立

$$\frac{\partial g}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}(gpx)$$

由于 g 和 p 仅是 t 的函数，这可化简为

$$\frac{dg}{dt} = gp$$

这是一个可分离方程，其解为

$$\int \frac{dg}{g} = \int p(t) dt$$

也就是说，

$$\ln g = \int p(t) dt$$

或者

$$g(t) = e^{k(t)}, \quad \text{where } k(t) = \int p(t)dt$$

因此，将 (10.21) 两边同乘 g(t)，我们得到

$$e^{k(t)} \frac{dx}{dt} + p(t)e^{k(t)}x = 0$$

或者

$$\frac{d}{dt}(e^{k(t)}x) = 0, \quad \text{since} \quad \frac{d}{dt}(e^{k(t)}) = e^{k(t)} \frac{d}{dt}(k(t)) = p(t)e^{k(t)}$$

因此，对 t 积分，我们有

$$e^{k(t)}x = C$$

所以解可以写成

$$x = Ce^{-k(t)}$$

函数 g(t) 称为该微分方程的积分因子。这个名称表达了这样一个性质：虽然

$$\frac{dx}{dt} + p(t)x =$$

不是精确积分，该表达式

$$g(t) \frac{dx}{dt} + g(t)p(t)x$$