是一个精确积分。换句话说，g(t) 是使表达式可积的一个因子。

事实上，这种技术可以用于完整的方程 (10.20)。在这种情况下，乘以积分因子 g(t)，我们得到

$$e^{k(t)} \frac{dx}{dt} + p(t) e^{k(t)} x = e^{k(t)} r(t)$$

或者

$$\frac{d}{dt}(e^{k(t)}x) = e^{k(t)}r(t)$$

然后，对 t 积分，我们得到

$$e^{k(t)}x = \int e^{k(t)}r(t)dt + C$$

以及解

$$x = e^{-k(t)} \left[ \int e^{k(t)} r(t) dt + C \right] \quad (10.22)$$

因此 (10.22) 是 (10.20) 的一个解析解。如果 $\int p(t)dt$ 具有简单的解析形式，如例 10.17 和例 10.18 所示，则解的形式可以大大简化。

例 10.17 求解一阶线性微分方程

$$\frac{dx}{dt} + tx = t$$

解 我们已经证明，线性微分方程的积分因子是

$$g(t) = e^{k(t)} \quad \text{where} \quad k(t) = \int p(t) dt$$

在本例中

$$p(t) = t \quad \text{so} \quad k(t) = \int t , dt = \frac{1}{2} t^2 \quad \text{and} \quad g(t) = e^{\frac{1}{2}t^2}$$

将微分方程两边乘以这个积分因子，我们得到

$$e^{\frac{1}{2}t^2} \frac{dx}{dt} + te^{\frac{1}{2}t^2} x = te^{\frac{1}{2}t^2}$$