现在左边是一个恰当微分（积分因子的形式正是为此而选取的），因此该微分方程可以写成

$$\frac{d}{dt}(e^{\frac{1}{2}t^2}x) = te^{\frac{1}{2}t^2}$$

对方程两边关于 t 积分，我们得到

$$e^{\frac{1}{2}t^2}x = \int te^{\frac{1}{2}t^2}dt = e^{\frac{1}{2}t^2} + C$$

最后，两边同除以 e 1 ^t，我们得到

$$x(t) = 1 + C e^{-\frac{1}{2}t^2}$$

注： 在计算 $\int dt$ 作为积分因子时，我们取积分常数为零。积分常数取任何其他值也会得到一个有效的（但更复杂的！）积分因子。

例 10.18 求解一阶线性初值问题

$$\frac{dx}{dt} + \frac{1}{t}x = t, \quad x(2) = \frac{1}{3}$$

解 我们已经证明，线性微分方程的积分因子是

$$g(t) = e^{k(t)} \quad \text{where} \quad k(t) = \int p(t) dt$$

在本例中

$$p(t) = \frac{1}{t} \quad \text{so} \quad k(t) = \int \frac{1}{t} dt = \ln t \quad \text{and} \quad g(t) = e^{\ln t} = t$$

将微分方程两边乘以这个积分因子，我们得到

$$t \frac{dx}{dt} + x = t^2$$

现在左边是一个恰当微分，因此该微分方程可以写成

$$\frac{d}{dt}(tx) = t^2$$

对方程两边关于 t 积分，我们得到

$$tx = \int t^2 , dt = \frac{1}{3}t^3 + C$$