现在，两边同时除以 $t$ ，我们得到

$$x(t) = \frac{1}{3}t^2 + \frac{C}{t}$$

初始值 $x(2) = \frac{1}{3}$ 所以必须有

$$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}4 + \frac{C}{2} \quad \text{or} \text{or} \quad C = -2$$

所以，最后，

$$x(t) = \frac{1}{3}t^2 - \frac{2}{t}$$

10.5.10 伯努利微分方程的解

形如

$$\frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)x^\alpha$$

的微分方程称为伯努利微分方程。如果指数 $\alpha$ 为 0 或 1，则方程化为

$$\alpha = 1, \quad \frac{dx}{dt} + [p(t) - q(t)]x = 0$$

$$\alpha = 0, \quad \frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)$$

这两种形式都是线性一阶微分方程，我们可以用 10.5.9 节的方法求解。但如果 $\alpha$ 不取这两个值中的任何一个，则方程是非线性的。不过，通过变量替换可以将这些方程化为线性形式。设

$$y(t) = x(t)^{1-\alpha}$$

同样，MATLAB 也可用于求解一阶线性微分方程。前面的例子以及下一节的练习都可以用这种方法来处理。值得指出的是，这完全在预料之中。计算机代数软件包是通过遵循标准数学方法来得出结果的，而这些方法已由软件包的设计者编写成程序。本章所述的求解微分方程的各种解析方法都是众所周知的，并且肯定包含在 dsolve 及 MATLAB 所使用的相关例程所纳入的方法范围之内。