则

$$\frac{dy}{dt} = (1 - \alpha)x^{-\alpha} \frac{dx}{dt}$$

给出

$$\frac{dx}{dt} = \frac{x^\alpha}{1-\alpha} \frac{dy}{dt}$$

S 理解为 $\frac{dx}{dt}$ 在原微分方程中 $\frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)x^\alpha$ 我们有

$$\frac{x^\alpha}{1-\alpha} \frac{dy}{dt} + p(t)x = q(t)x^\alpha$$

现在全式除以 $x^\alpha$ 我们有

$$\frac{1}{1-\alpha} \frac{dy}{dt} + p(t)x^{1-\alpha} = q(t)$$

但是 $y(t) = x(t)^{1-\alpha}$ ，因此代入 $x(t)^{1-\alpha}$ 并全式乘以 $(1 - \alpha)$ 我们得到

$$\frac{dy}{dt} + (1 - \alpha)p(t)y = (1 - \alpha)q(t)$$

这是关于 $y(t)$ 的线性微分方程。因此我们可以用 10.5.9 节的方法求解该方程中的 $y(t)$ 例 10.19 求解微分方程

$$t^2x - t^3 \frac{dx}{dt} = x^4 \cos t$$

解 首先将方程化为标准形式

$$\frac{dx}{dt} - \frac{1}{t}x = \frac{\cos t}{t^3}x^4$$

我们识别出这是一个指数为 $\alpha = 4$ 的伯努利微分方程，因此作代换

$$y(t) = x(t)^{1-4} = x(t)^{-3}$$

得到

$$\frac{dy}{dt} = -3x^{-4} \frac{dx}{dt} \quad \text{and} \quad \frac{dx}{dt} = -\frac{x^4}{3} \frac{dy}{dt}$$