代入方程得

$$-\frac{x^4}{3} \frac{dy}{dt} - \frac{1}{t} x = -\frac{\cos t}{t^3} x^4 \quad \text{so that} \quad \frac{dy}{dt} + \frac{3}{t} x^{3-2} = \frac{3 \cos t}{t^3}$$

并代入 $y$ 对于 $x^{-3}$ 我们得到

$$\frac{dy}{dt} + \frac{3}{t}y = \frac{3 \cos t}{t^3}$$

现在可以看出这是一个线性方程，因此积分因子 $g(t)$ 用标准方法求得

$$p(t) = \frac{3}{t} \text{ giving } k(t) = \int \frac{3}{t} dt = 3 \ln t \quad \text{and} \quad g(t) = e^{3 \ln t} = (e^{\ln t})^3 = t^3$$

将微分方程两边同乘以该积分因子，我们得到

$$t^3 \frac{dy}{dt} + 3t^2y = 3 \cos t$$

现在左边是一个全微分，因此微分方程可以写成

$$\frac{d}{dt} (t^3 y) = 3 \cos t$$

并对方程两边关于 $t$ 积分，我们得到

$$t^3y = \int 3\cos t , dt = 3\sin t + C$$

最后，代入 $y(t)$ 以求得 $x(t)$ 的解，我们有

$$\frac{t^3}{x^3} = 3 \sin t + C \quad \text{giving} \quad x(t)^3 = \frac{t^3}{3 \sin t + C}$$

因此

$$x(t) = 3\sqrt{\left(\frac{t^3}{3 \sin t + C}\right)}$$

10.5.11 习题

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

• 31 求解下列微分方程：

• 求解下列微分方程：	(a) $\frac{dx}{dt} + 3x = 2$	(b) $\frac{dx}{dt} - 4x = t$	(c) $\frac{dx}{dt} + 2x = e^{-4t}$	(d) $\frac{dx}{dt} + tx = -2t$	(a) $\frac{dx}{dt} - 2x = 3, \quad x(0) = 2$	(b) $\frac{dx}{dt} + 3x = t, \quad x(0) = 1$	(c) $\frac{dx}{dt} + tx = -2t$	(d) $\frac{dx}{dt} + tx = -2t$
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