10.6 一阶常微分方程的数值解法

在前几节中，我们已经学习了一些可能得到一阶常微分方程解析解的技巧，现在我们将看到如何对一阶常微分方程进行数值求解。在本章中，我们只研究其中最简单的方法——欧拉方法。还有许多更复杂（但也更精细）的方法可以更高效地求得解，但篇幅所限，本入门性论述中不再介绍它们。

$$(c) \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = t^2 - 3, \quad x(1) = -1$$

33 求下列微分方程的解：

$$(a) \frac{dx}{dt} - x = t + 2t^2 \qquad (b) \frac{dx}{dt} - 4tx = t^3$$

(c) $$\frac{dx}{dt} + \frac{2x}{t} = \cos t$$      (d) $t \frac{dx}{dt} + 4x = e^t$

$$(e) \frac{dx}{dt} - (2 \cot 2t)x = \cos t$$

$$(f) \frac{dx}{dt} + 6t^2x = t^2 + 2t^5 \quad (g) \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t^2} = \frac{4}{t^2}$$

34 求下列初值问题的解：

$$(a) \quad \frac{dx}{dt} - 2t(2x - 1) = 0, \quad x(0) = 0$$

$$(b) \frac{dx}{dt} = -x \ln t, \quad x(1) = 2$$

$$(c) \frac{dx}{dt} + 5x - t = e^{-2t}, \quad x(-1) = 0$$

$$(d) \quad t^2 \frac{dx}{dt} - 1 + x = 0, \quad x(2) = 2$$

$$(e) \quad \frac{dx}{dt} - \frac{1-2x}{t} = 4t + e', \quad x(1) = 0$$

$$(f) \frac{dx}{dt} + (x - U) \sin t = 0, \quad x(\pi) = 2U$$

35 求解 (10.6)，它来自 10.2.2 节中建立的家庭热水储水箱中水加热的模型。如果水箱中的水初始温度为 10°C，且 Tin

为 80°C，那么水箱中的水分别达到 60°C、70°C 和 75°C 所需时间之比是多少？

36 求解 (10.7)，它来自 10.2.3 节中建立的水电站模型。控制阀的设置在模型中由参数的值表示 $\gamma$ 。试推导阀门开度突然增大（即参数 $Q(t)$ 从 $\gamma$ 变为 $\gamma_0$ ）后流量的表达式。

37 求下列微分方程的解： $\frac{1}{2}\gamma_0$ 38 求下列初值问题的解：

$$(a) \frac{dx}{dt} + \frac{1}{t}x = \frac{1}{x^2}$$

$$(b) \frac{dx}{dt} + 2x = tx^2$$

$$(c) \frac{dx}{dt} - x = \frac{e^t}{x}$$

$$(d) \frac{dx}{dt} + \frac{2}{t} x = x^2$$

$$(a) \quad \frac{dx}{dt} + \frac{1}{t}x = t^2x^3, \quad x(1) = 1$$

$$(b) \frac{dx}{dt} + 3x = x^3, \quad x(0) = 6$$

$$(c) \frac{dx}{dt} + x = \sin t x^4, \quad x(0) = -1$$

$$(d) \frac{dx}{dt} - \frac{3}{t} x = \frac{1}{x^2}, \quad x(-1) = 1$$