10.6.1 一个简单的求解方法：欧拉法

在 10.5.1 节中我们遇到了微分方程的方向场概念

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x)$$

我们注意到，微分方程的解是 $t-x$ 平面上的曲线，方向场的场线在这些曲线的每一点处都与曲线相切。这立即提示我们，可以通过在方向场上描绘一条始终与方向场线相切的曲线，来得到表示解的曲线。图 10.8 展示了一种系统地构造这样一条曲线的近似的方法。

从某一点 $(t_0, x_0)$ 出发，画一条斜率等于该点处方向场值的直线， $f(t_0, x_0)$ 。沿这条直线到达横坐标为 $t_0 + h$ 的点。该点处的纵坐标为 $x_0 + hf(t_0, x_0)$ ，我们将其记为 $X_1$ 。计算这个新点处方向场的值，并从该点出发以新的斜率画出另一条直线。沿这条直线一直到达横坐标为 $t_0 + 2h$ 的点。这一过程可以重复任意多次，从而在 $t$ - $x$ 平面上构造出一条由若干短直线段组成的曲线。该曲线完全由直线段的连接点确定，而这些连接点显然可以由以下方程描述

$$t_1 = t_0 + h, \quad X_1 = x_0 + hf(t_0, x_0)$$

$$t_2 = t_1 + h, \quad X_2 = X_1 + hf(t_1, X_1)$$

$$t_3 = t_2 + h, \quad X_3 = X_2 + hf(t_2, X_2)$$

$$t_{n+1} = t_n + h, \quad X_{n+1} = X_n + hf(t_n, X_n)$$

这些在数学上定义了积分一阶微分方程的最简单方法。它被称为欧拉法。解从某个给定的起点开始逐步构造 $(t_0, x_0)$ 。对于给定的 $t_0$ 每个不同的 $x_0$ 将产生

图 10.8
方程数值解的构造 $dx/dt = f(t, x)$ .