另一条不同的解曲线。这些曲线都是该微分方程的解，但每一条对应不同的初始条件。

用这种方法构造的解曲线显然不是精确解，而只是解的近似，因为它们仅在某些点处与方向场相切。在这些点之间，曲线只是近似地与方向场相切。直观上，我们预期，随着我们沿每条直线段前进的距离不断缩短，所构造的曲线将成为精确解越来越好的近似。沿每条直线段自变量的增量 $h$ 称为求解中使用的步长。在图 10.9 中，针对步长 $t$ 和

$$\frac{dx}{dt} = x^2 t e^{-t}, \quad x(0) = 0.91 \quad (10.23)$$

给出了初值问题的三个近似解。这些步长足够小，因此这些曲线尽管由一系列短直线段组成，却给人以光滑曲线的错觉。方程 (10.23) 实际上有一个解析解，可以通过分离变量求得： $h = 0.05$ , $0.025$ 该初值问题的解析解也显示在图 10.9 中以便比较。可以看到，正如我们直观预期的那样，步长越小，数值解就越接近解析解。

例 10.20 函数 $0.0125$ 满足微分方程

$$x = \frac{1}{(1+t)e^{-t} + C}$$

和初始条件 $x(t)$ 。使用欧拉方法求其值的近似值。注意：原文最后一句为 ". Use Euler's method to obtain an approximation to the value of"，其中句首的 "." 属于前一段末尾的变量之后，此处按原文保留。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{x + t}{xt}$$

。使用欧拉方法求该值在 $x(1) = 2$ 处的近似值 $x(2)$ 使用步长为 $h = 0.1$ .

图 10.9
欧拉方法
求解
$dx/dt = x^2te^{-t}$ 对于
$h = 0.05$ , $0.025$
和 $0.0125$ .