解答 解答按图 10.10 所示逐步求得。近似 $X(2) = 3.1162$ 结果。

10.6.2 分析欧拉方法

我们通过基于对问题的几何理解的直观论证引入了欧拉方法。欧拉方法还可以从另一个角度来看待——作为泰勒级数的一种应用。第 9.4.2 节中给出的泰勒级数应用于函数 $x(t)$ 得

$$x(t + h) = x(t) + h \frac{dx}{dt}(t) + \frac{h^2}{2!} \frac{d^2x}{dt^2}(t) + \frac{h^3}{3!} \frac{d^3x}{dt^3}(t) + \dots \quad (10.24)$$

利用这个公式，理论上，在已知 $x(t)$ 以及 $x$ 在 $t$ 处的所有导数的情况下，我们可以计算出对于任意给定的 $x(t + h)$ 的值。如果我们为 $h$ 选取一个较小的值 $h$ 那么在有限项之后截断的泰勒级数将给出对以下数值的良好近似 $x(t + h)$ 。欧拉方法可以解释为使用在第二项之后截断的泰勒级数来近似以下数值 $x(t + h)$ 。

为了区分微分方程的精确解与其数值近似（并且应当认识到，所有数值解无论多么精确，都只是精确解的近似），我们现在把上一节中使用的约定明确化。微分方程的精确解将用小写字母表示，而精确解的数值近似用相应的大写字母表示。于是，对泰勒级数进行截断后，我们写作

$$X(t + h) = x(t) + h \frac{dx}{dt}(t) = x(t) + hf(t, x) \quad (10.25)$$

从点 $(t_0, x_0)$ 开始应用这个截断的泰勒级数，并记 $t_0 + nt$ 为 $t_n$ ，我们得到

$$X(t_1) = X(t_0 + h) = x(t_0) + hf(t_0, x_0)$$

$$X(t_2) = X(t_1 + h) = X(t_1) + hf(t_1, X_1)$$

$$X(t_3) = X(t_2 + h) = X(t_2) + hf(t_2, X_2)$$

图 10.10
例 10.20 的
计算结果。