这正是 10.6.1 节中得到的欧拉法公式。作为另一种简写记号，我们约定 $x(t_0 + nh)$ 表示为 $x_n$ , $X(t_0 + nh)$ 由 $X_n$ , $f(t_n, x_n)$ 由 $f_n$ ，而 $f(t_n, X_n)$ 表示为 $F_n$ 。因此，我们可以用一般形式将欧拉法表示为如下递推规则

$$X_0 = x_0$$

$$X_{n+1} = X_n + hF_n \quad (n \geq 0)$$

以这种方式将欧拉法视为泰勒级数的一种应用，其优点在于它为我们寻求更精确的微分方程数值解法提供了线索。它也使我们能够更详细地分析欧拉法可望达到的精度。我们可以将 (10.24) 简写为

$$x(t + h) = x(t) + hf(t, x) + O(h^2)$$

其中 $O(h^2)$ 涵盖了所有包含 $h$ 大于或等于 $h^2$ 。将此与 (10.25) 结合，我们看到

$$X(t + h) = x(t + h) + O(h^2) \quad (10.26)$$

（注意，在得到这个结果时，我们利用了符号在确定项的顺序时无关紧要这一事实；也就是说， $-O(h^p) = O(h^p)$ 。）方程 (10.26) 表达了这样一个事实：在欧拉过程的每一步中，所得到的 $X(t + h)$ 的值具有 $h^2$ 阶的误差，或者换句话说，所使用的公式在 $h$ 阶的项范围内是精确的。因此，欧拉方法被称为一阶方法。正如我们直观预期的那样，误差的确切大小取决于 $h$ 的大小，并随着 $h$ 的减小而减小。由于误差是 $h^2$ 阶的，我们预期将 $h$ , 例如，将使每一步的误差缩小为原来的 1/4。

遗憾的是，这并不意味着初值问题解中的误差也缩小为原来的 1/4。为了理解原因，我们作如下论证。从点 $(t_0, x_0)$ 出发，使用步长为 $h$ 的欧拉法得到 $X(t_0 + 4)$ 的一个值，比如说，需要 $4/h$ 步。每一步都会产生数量级为 $h^2$ 的误差。 $X(t_0 + 4)$ 的值中的总误差将是每一步所产生误差之和，因此将是单个典型步误差的 $4/h$ 倍。所以总误差的数量级为 $(4/h)O(h^2)$ ；也就是说，总误差为 $O(h)$ 。根据这一论证，我们应当预期：如果比较用不同步长的欧拉法求得的微分方程的解，将步长减半会使解中的误差减半。对图 10.9 的考察证实，对于其中给出的解，这一预期大致正确。

例 10.21 设 $X_a$ 表示初值问题解的近似值

$$\frac{dx}{dt}{dt} = \frac{x^2}{t+1}, \quad x(0) = 1$$

使用步长为的欧拉法得到 $h = 0.1$ ，以及 $X_b$ 使用步长为得到的结果 $h = 0.05$ 。计算的值 $X_a(t)$ 和 $X_b(t)$ 当 $t = 0.1, 0.2, \dots, 1.0$ 时。将这些值与 $x(t)$ 的值进行比较，其为该问题的精确解。计算 $X_a$ 和中的误差之比 $X_b$ .