该公司认为，从图 10.15 可以推断，经典液压阻尼器的缺点之一是：最大的力，因而对被阻尼物体产生的最大减速度，出现在撞击过程的早期，此时速度最大。这意味着无论该物体是什么，它都必须能够承受这一高减速度。如果能设计出一种在减速过程中产生更均匀作用力的阻尼器，那么物体在给定距离内从给定速度被停止时所经历的最大减速度就会降低。该公司的设计人员认为他们可能已经找到了解决这一问题的办法——他们设计出一种新型阻尼器，其内部机构受专利保护，使得阻尼常数随阻尼器的运行而增大。这一机构的效果是，在任一给定的运行周期内，阻尼常数可以表示为 $k(1 + at)$ ，其中 $t$ 是运行周期中经过的时间。该内部机构的特点是，在一个运行周期结束后的短时间内，有效阻尼常数会恢复到其初始状态，阻尼器即可准备进入下一个运行周期。

这种新型阻尼器的设计由如下方程给出模型

$$m \frac{dv}{dt} = -k(1 + at)v - b, \quad v(0) = U \quad (10.35)$$

这是一个线性一阶微分方程。应用适当的求解方法可得其解为

$$v = -\frac{b}{m}e^{-\lambda g(t)} \int e^{\lambda g(t)} dt, \quad \text{where } g(t) = t + \frac{1}{2}at^2$$

该解中的积分并不能得到 v(t) 的简单表达式，尽管它可以用一种称为误差函数的标准查表函数来表示。不过，(10.35) 可以通过数值方法求解，从而以表格形式给出 v(t)。虽然用这种方法我们无法立即得到 x(t)，但我们可以很容易地由 v(t) 的表格值导出 x(t)。由于

$$v = \frac{dx}{dt}$$

我们可以对该方程两边积分，得到

$$x(t) = \int_0^t v(\tau) d\tau$$

且该积分可以用 v(t) 的表格值进行数值计算（见 8.10 节）。然而，在评估阻尼器的性能时，速度曲线更为重要，因此我们将满足于演示 (10.35) 的数值解。

该公司的工程师们希望设计出一种数值积分方法，使他们能够预测阻尼器在不同运行参数 U、m、k、a 和 b 组合下的性能。因此，任务是编写一个程序，先通过一些测试用例对其进行验证，然后可以在其他情况下以相当的置信度加以使用。如果 a 取 0，那么求解 (10.35) 的程序应给出与 (10.30) 的解析解 (10.31) 相同的结果。这为检验该方法的充分性提供了一个合适的测试，并且