速度–时间曲线也略微更直了，这表明使减速度更接近均匀的设计目标至少已部分实现。图中所示的第三条曲线对应一个新型缓冲器，其基本缓冲器常数 k 减小到 17.5，而参数 a 保持为 4。该缓冲器能够在与原始未改进缓冲器相同的时间内使小车停下，但在此过程中，最大减速度要小一些。这正是公司希望推向市场的新设计的优势。

在本节中，我们已经看到如何利用微分方程和数值求解方法来提供一种分析工具，公司现在可以将其作为常规设计工具，用于预测具有任意给定参数组合的新型缓冲器的性能。这样的工具对设计者来说是极其宝贵的辅助手段，设计者的任务通常是根据客户提出的运行需求来确定合适的参数，例如类似于“能够在时间 T 内使以速度 U 运动的质量 M 停下，同时使其承受的减速度不超过 D”这样的要求。

这里还应当说明，在本例中我们使用欧拉方法完成了数值计算。在实际应用中，使用更复杂的方法会好得多，这种方法可以在使用大得多的时间步长、从而耗费少得多的计算量的情况下，得到精度相当的解。虽然对于单次计算而言差异非常小（因此，实现更复杂方法所需的额外编程工作量远超其收益），但如果我们要进行大量的对比运行，或者创建一个将被许多工程师长期使用的设计工具，那么这些问题就很重要了。

10.8 线性微分方程

在过去的三个小节中，我们讨论了一阶微分方程，现在将把注意力转向更高阶的微分方程。首先，我们将把注意力限制在线性微分方程上。

在第 10.3.3 节中，我们定义了线性的概念，并提到线性方程的解具有重要的简化性质。在本节中，我们将更详细地研究这些简化性质。然而，在此之前，先定义一些新的记号是有帮助的。

10.8.1 微分算子

我们已经熟悉这样的概念：函数是从一个称为函数定义域的集合到另一个集合（即函数的余定义域）的映射（见第 2.2 节）。到目前为止，我们遇到的函数，其定义域和余定义域都是常见的集合，例如全体实数构成的集合（或该集合的某个子集）、整数集合或复数集合。然而，没有理由不允许把函数定义为以函数作为其定义域和余定义域。这样的函数称为算子。这个名称体现了算子是将一个函数变换为另一个函数的函数这一思想。如果 $f$ 是一个函数，而 $\phi$ 是一个算子，那么 $\phi[f]$ 就是另一个函数。