例 10.23 设集合 $A$ 是实数上的函数集合，即定义域和陪域都是实数的函数。算子 $\phi$ 的定义域为 $A$ 并且由下式定义

$$\phi[f(t)] = f(t)^2$$

换句话说，算子 $\phi$ 作用于函数 $f$ 的效果是通过指定函数 $\phi[f(t)]$ 来定义的。因此对于这里定义的 $\phi$ 有

$$\phi[3t^2 - 2t + 4] = 9t^4 - 12t^3 + 28t^2 - 16t + 16$$

以及

$$\phi[\sin t - t] = \sin^2 t - 2t \sin t + t^2$$

例 10.24 算子 $\phi$ 定义为

$$\phi[f(t)] = tf(t)^2 - 4f(t) + t^2$$

则 $tg(t)^4 - 4g(t)^2 + t^2$ 可以表示为 $\phi[g(t)^2]$ 且 $te^{2t} - 4e' + t^2$ 可以表示为 $\phi[e']$ 。

在不会产生歧义的情况下，允许并且通常也可以将 $\phi[f(t)]$ 写成 $\phi f(t)$ ；也就是说，省略方括号。

我们可以将微分运算视为把一个可微函数变换为另一个函数，即它的导数。当我们采用这种观点时，常常将微分符号与它所作用的函数分开书写；例如，我们写作

$$\frac{dx}{dt} = as - \frac{d}{dt}[x] = 0 + \frac{d^2x}{dt^2} = as - \frac{d^2}{dt^2}[x]$$

这种记号在那些我们习惯写出诸如

$$\frac{d}{dt}[f(t)g(t)] = \frac{df}{dt}g + f\frac{dg}{dt}$$

在诸如此类的情形中，我们将符号 d/dt 称为微分算子。

例 10.25 设算子 $\phi$ 由下式定义

$$\phi[f(t)] = \frac{d}{dt}f(t)$$

那么我们有

$$\phi[t^2] = 2t, \quad \phi[\sin t] = \cos t, \quad \phi[4t^3 - \tan t] = 12t^2 - \sec^2 t, \quad \text{and so on}$$