例 10.26 设算子 L 定义为

$$L[f(t)] = \frac{d^2f}{dt^2} - (\sin t) \frac{df}{dt} + e^t f$$

微分方程

$$\frac{d^2 f}{dt^2} - (\sin t) \frac{df}{dt} + e'f = t^4$$

利用算子记号，可以写成

$$L[f(t)] = t^4$$

在 10.3.4 节中我们介绍了齐次与非齐次线性微分方程的概念，并提到了一种惯例，即微分方程通常写成含因变量的项在左边、不含因变量的项在右边的形式。按这种方式书写时，齐次方程可以刻画为如下形式的方程

$$L[x(t)] = 0$$

而非齐次方程则可刻画为如下形式的方程

$$L[x(t)] = f(t)$$

其中 L 是该方程的微分算子。

10.8.2 线性微分方程

现在回到线性与非线性方程，我们看到线性方程可以更精确、更简洁地定义为算子满足下列条件的方程

$$L[ax_1 + bx_2] = aL[x_1] + bL[x_2] \quad (10.36)$$

对所有函数 x1 和 x2 以及所有常数 a 和 b 成立。

例 10.27 方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 4t \frac{dx}{dt} - (\sin t)x = \cos t$$

是一个线性微分方程。请指出该方程的算子，并证明 (10.36) 对该算子成立。

解答 该算子是

$$L \equiv \frac{d^2}{dt^2} + 4t \frac{d}{dt} - \sin t$$