因此我们有

$$\begin{aligned} L[ax_1 + bx_2] &= \frac{d^2}{dt^2}[ax_1 + bx_2] + 4t \frac{d}{dt}[ax_1 + bx_2] - (\sin t)(ax_1 + bx_2) \ &= a \frac{d^2 x_1}{dt^2} + b \frac{d^2 x_2}{dt^2} + 4t \left( a \frac{d x_1}{dt} + b \frac{d x_2}{dt} \right) - (a \sin t)x_1 - (b \sin t)x_2 \ &= a \left[ \frac{d^2 x_1}{dt^2} + 4t \frac{d x_1}{dt} - (\sin t)x_1 \right] + b \left[ \frac{d^2 x_2}{dt^2} + 4t \frac{d x_2}{dt} - (\sin t)x_2 \right] \ &= aL[x_1] + bL[x_2] \end{aligned}$$

方程 (10.36) 是对任何类型算子的线性性的严格数学定义，而我们之前给出的定义（见 10.3.3 节）在数学上远不够令人满意。因此，线性微分方程的形式定义就是其微分算子在 (10.36) 意义下为线性的任何微分方程。

我们之前说过，线性微分方程是微分方程的一个重要子类，因为它们具有特别有用的简化性质。最重要的简化性质可以概括为以下原理：

线性原理： 如果 $x_1$ 和 $x_2$ 都是齐次线性微分方程 $L[x] = 0$ 的解，那么 $ax_1 + bx_2$ 也是它的解，其中 $a$ 和 $b$ 是任意常数。

这个结果直接由线性算子的定义得出。由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是该微分方程的解，我们有

$$L[x_1] = 0 \quad \text{and} \quad L[x_2] = 0$$

由于该方程是线性的，我们有

$$L[ax_1 + bx_2] = aL[x_1] + bL[x_2] = 0$$

因此 $ax_1 + bx_2$ 是该方程的一个解 $L[x] = 0$ .

例 10.28

我们之前（见第 10.4.2 节）曾指出，方程

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \lambda^2 x = 0$$

的通解为

$$x = A \sin \lambda t + B \cos \lambda t$$

可以根据线性原理来解释这个解。设 $x_1 = \sin \lambda t$ 且 $x_2 = \cos \lambda t$ 。则 $x_1$ 和 $x_2$ 是微分方程的解。该方程是线性的，所以我们知道 $Ax_1 + Bx_2$ 也是一个解。