例 10.29 求方程的通解

$$\frac{d^4 x}{dt^4} - \lambda^4 x = 0$$

解 我们可以通过代入方程验证， $\sin \lambda t$ , $\cos \lambda t$ , $\sinh \lambda t$ 和 $\cosh \lambda t$ 都是方程的解。因此，由于该方程是线性的，通解为

$$x = A \sin \lambda t + B \cos \lambda t + C \sinh \lambda t + D \cosh \lambda t$$

MATLAB 能够像求解一阶微分方程那样求解高阶微分方程。因此，要求例 10.29 中微分方程的解，MATLAB 命令为

syms x(t) lambda D4x = diff(x, t, 4) dsolve(D4x - lambda^4*x)

将返回带有四个任意常数的通解。

在例 10.29 中，我们隐含地使用了前面介绍过的预期（见 10.4.2 节），即 p 阶微分方程的通解包含 p 个任意常数。由于该方程是四阶的，一旦找到四个解，我们就用四个任意常数将它们组合起来，便得到通解。情况总是如此吗？并不完全是——我们需要对解施加一个附加约束，如例 10.30 所示。

例 10.30 求微分方程的通解

$$\frac{d^3x}{dt^3} - 2 \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} + 2x = 0$$

解 我们可以通过代入方程证明， $e^t$ , $e^{-t}$ 和 $\cosh(t)$ 都是该微分方程的解。由于方程是线性的，函数

$$x = Ae^t + Be^{-t} + C \cosh(t)$$

也是一个解。它是通解吗？函数 cosh(t) 可以写成

$$\cosh(t) = \frac{1}{2}(e^t + e^{-t})$$

因此所提出的解可以改写为

$$x = Ae^t + Be^{-t} + \frac{1}{2}C(e^t + e^{-t}) = (A + \frac{1}{2}C)e^t + (B + \frac{1}{2}C)e^{-t}$$

$$x = De^t + Ee^{-t}$$