所提出的解实际上只有两个任意常数，而不是我们期望的通解所具有的三个。当然，如果我们注意到 $e^{2t}$ 也是该微分方程的一个解，我们就可以应用线性原理来证明

$$x = Ae^t + Be^{-t} + Ce^{2t}$$

是一个解，并且由于它具有预期数量的任意常数，且不能被改写为含更少常数的形式，因此它就是该微分方程的通解。

为了解决这个问题，我们需要线性无关的概念。

如果存在一组不全为零的数 $f_1(t), f_2(t), \dots, f_p(t)$ ，使得 $k_1, k_2, \dots, k_p$ 成立，则称函数

$$k_1f_1(t) + k_2f_2(t) + \dots + k_pf_p(t) = 0$$

是线性相关的，也就是说，

$$\sum_{j=1}^p k_j f_j(t) = 0$$

如果不存在这样一组数，则称这些函数是线性无关的。

例 10.31 下列哪几组函数是线性相关的，哪几组是线性无关的？

• (a) ${1 + t, t, 1}$
• (b) ${1 + t, 1 + t + t^2, 1 + t^2}$
• (c) ${\sin(t), \cos(t)}$
• (d) ${e^t, e^{2t}, e^{3t}}$

解 (a) 记 $f_1 = 1 + t$ , $f_2 = t$ , $f_3 = 1$ ，我们寻求形如

$$a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3 + \dots + a_nf_n = 0$$

的关系式，其中系数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 不全为零。容易看出

$$(1 + t) - t - 1 = 0$$

因此我们得到了与 $a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = -1$ 所需的关系式。于是 ${1 + t, t, 1}$ 是一个线性相关的函数组。

• (b) 记 $f_1 = 1 + t$ , $f_2 = 1 + t + t^2$ , $f_3 = 1 + t^2$ ，我们寻求如下形式的关系式

$$a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3 + \dots + a_nf_n = 0$$

$$a_1(1 + t) + a_2(1 + t + t^2) + a_3(1 + t^2) = 0$$