在方程两边取 1、t 和 t 2 的系数，我们要求

$$a_1 + a_2 + a_3 = 0$$

$$a_1 + a_2 = 0$$

$$a_2 + a_3 = 0$$

$$\text{that is, } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{bmatrix} = 0$$

这是一个齐次线性方程，我们知道这类方程只有当矩阵的行列式为零时才有非零解。在本例中

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$$

所以唯一的解是 $$\begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{bmatrix} = 0$$ ，即 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$ 。因此这些函数 ${1 + t, t}$

$1 + t + t^2, 1 + t^2}$ 是线性无关的。

(c) 我们将证明 {sin(t), cos(t)} 是线性无关的。我们将通过寻找如下形式的关系式来做到这一点

$$a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3 + \dots + a_nf_n = 0$$

我们将证明系数 a1, a2, . . . , an 必须全为零，从而得出这些函数不是线性相关的（因此是线性无关的）。

在本例中，该关系式化简为

$$a_1 \cos(t) + a_2 \sin(t) = 0$$

这对于函数定义域中的所有 t 都必须成立。所以我们可以选取特定的 t 值，并说明该关系式对这些值必须成立。因此我们有

$$t = 0 \Rightarrow a_1 1 + a_2 0 = 0 \Rightarrow a_1 = 0$$

$$t = \pi/2 \Rightarrow a_1 0 + a_2 1 = 0 \Rightarrow a_2 = 0$$

因此系数必须全为零，这些函数是线性无关的。

(d) 这组函数可以用与 (c) 部分类似的方式进行讨论。所以我们寻找如下形式的关系式

$$a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3 + \dots + a_nf_n = 0$$

并将证明系数 a1, a2, . . . , an 必须全为零，从而得出这些函数不是线性相关的（因此是线性无关的）。

在本例中，该关系式化简为

$$a_1e^t + a_2e^{2t} + a_3e^{3t} = 0$$