这对所有的 $t$ 在函数的定义域内都必须成立，因此我们可以选取特定的 $t$ 的值，并说明该关系对这些值也必须成立。于是我们得到

$$t = 0 \Rightarrow a_1e^0 + a_2e^0 + a_3e^0 = 0 \Rightarrow a_1 + a_2 + a_3 = 0$$

$$t = 1 \Rightarrow a_1e + a_2e^2 + a_3e^3 = 0$$

$$t = 2 \Rightarrow a_1e^2 + a_2e^4 + a_3e^6 = 0$$

也就是说， $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ e & e^2 & e^3 \ e^2 & e^4 & e^6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{bmatrix} = 0$

这是一个齐次线性方程，我们知道这类方程只有当矩阵的行列式为零时才有非零解。在本例中

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ e & e^2 & e^3 \ e^2 & e^4 & e^6 \end{bmatrix} = e^8 - e^7 - e^7 + e^5 + e^5 - e^4 = (e^4 - 2e^3 + 2e - 1)e^4 \approx 1029.9$$

所以唯一的解是 $\begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{bmatrix} = 0$ ，即 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$ 。所有系数都为零，

因此函数 ${e^t, e^{2t}, e^{3t}}$ 是线性无关的。

线性相关函数组与线性无关函数组的本质区别在于：对于线性相关的函数组，组中存在某些函数可以写成其余部分或全部函数的线性组合。而对于线性无关的函数组，这是不可能的。我们可以看到，最初在例 10.30 中使用的三个解是线性相关的解。这实际上意味着其中一个只是另外两个的伪装形式，因此我们实际上根本没有三个解，只有两个。我们在例 10.29 之后立即提到的附加约束就是解必须是线性无关的。由此我们得到以下原理。

线性齐次方程的通解： 设 $L$ 是一个 $p$ 阶线性微分算子，即

$$L[x] = a_p \frac{d^p x}{dt^p} + a_{p-1} \frac{d^{p-1} x}{dt^{p-1}} + \dots + a_2 \frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{d x}{dt} + a_0 x$$

那么如果 $x_1, x_2, \dots, x_p$ 都是 $p$ 阶齐次线性微分方程

$$L[x] = 0$$

的解，且 $x_1, x_2, \dots, x_p$ 也线性无关，则该微分方程的通解为

$$x = A_1 x_1 + A_2 x_2 + \dots + A_p x_p$$