该结果的形式证明并不简单，此处不予给出。不过，我们可以按以下方式论证其合理性。由于该方程是线性的，反复应用线性原理可知 $A_1x_1 + A_2x_2 + \dots + A_px_p$ 是 $L[x] = 0$ 的一个解。表达式 $A_1x_1 + A_2x_2 + \dots + A_px_p$ 含有 $p$ 个任意常数，并且由于 $x_1, x_2, \dots, x_p$ 是线性无关的，无法通过改写该表达式来减少任意常数的个数。因此 $A_1x_1 + A_2x_2 + \dots + A_px_p$ 具有该微分方程通解的特征。

齐次线性微分方程通解的相对简单结构现在已经揭示出来了。非齐次方程的通解只是稍微复杂一些。它由以下结果给出。

线性非齐次方程的通解： 设

$$L[x] = f(t)$$

是一个非齐次线性微分方程。若 x* 是该方程的任意一个解，且 xc 是等价齐次方程

$$L[x] = 0$$

的一个解，则 $x^* + x_c$ 也是非齐次方程的一个解。

这个结果相对容易证明。根据 x* 和 xc 的定义，我们有

$$L[x^*] = f(t)$$ 以及 $L[x_c] = 0$

由于 L 是线性算子，我们有

$$L[x^* + x_c] = L[x^*] + L[x_c] = f(t) + 0 = f(t)$$

因此 $x^* + x_c$ 是 $L[x] = f(t)$ 的一个解。

由此可知，求非齐次线性微分方程的通解可以归结为：先求出非齐次方程的任意一个解，再加上与之对应的齐次方程的通解。所得表达式是含有适当数量任意常数的非齐次方程的解，因此就是通解。解的第一部分（非齐次方程的“任意一个解”，即 x*）称为特积分，解的第二部分（对应齐次方程的通解，即 xc）称为补函数。读者应注意其结构与前面介绍的线性递推关系通解的相似之处（见 7.4 节）。

例 10.32 求微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \lambda^2x = 4t^3, \quad \lambda > 0$$

的通解。解 该方程的一个特积分是

$$x = \frac{4}{\lambda^2}t^3 - \frac{24}{\lambda^4}t$$