补函数是该方程的通解

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \lambda^2 x = 0$$

即

$$x = A \sin \lambda t + B \cos \lambda t$$

因此

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \lambda^2 x = 4t^3$$

的通解为

$$x = \frac{4}{\lambda^2}t^3 - \frac{24}{\lambda^4}t + A \sin \lambda t + B \cos \lambda t$$

例 10.33 求该边值问题的通解

$$\frac{d^2x}{dt^2} - k^2x = \sin 2t, \quad k > 0, \quad x(0) = 0, \quad x\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$$

解 该方程的一个特积分为

$$x = -\frac{\sin 2t}{4 + k^2}$$

这同样可以通过直接代入来验证。补函数是该方程的通解

$$\frac{d^2 x}{dt^2} - k^2 x = 0$$

即

$$x = Ae^{kt} + Be^{-kt}$$

因此

$$\frac{d^2 x}{dt^2} - k^2 x = \sin 2t$$

的通解为

$$x = -\frac{\sin 2t}{4 + k^2} + Ae^{kt} + Be^{-kt}$$

现在，施加边界条件得到两个方程，由此我们可以求出通解中两个任意常数的值：

$$x(0) = 0 \quad \text{implies} \quad -\frac{\sin 0}{4 + k^2} + Ae^0 + Be^0 = 0$$

$$x\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \quad \text{implies} \quad -\frac{\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)}{4+k^2} + Ae^{k\pi/4} + Be^{-k\pi/4} = 0$$