由此可得

$$A + B = 0$$

$$Ae^{k\pi/4} + Be^{-k\pi/4} = \frac{1}{4 + k^2}$$

求解这些方程得到 $A$ 和 $B$ 得到

$$A = \frac{1}{2(4 + k^2) \sinh(\frac{1}{4}k\pi)}, \quad B = -\frac{1}{2(4 + k^2) \sinh(\frac{1}{4}k\pi)}$$

因此最终

$$x(t) = \frac{1}{4 + k^2} \left( \frac{\sinh kt}{\sinh(\frac{1}{4}k\pi)} - \sin 2t \right)$$

线性非齐次微分方程对 MATLAB 来说不成问题。要求例 10.33 中微分方程的解，MATLAB 命令如下

syms x(t) k

D2x = diff(x,t,2)

dsolve(D2x - k^2*x == sin(2*t), x(0) == 0, x(pi/4) == 0)

• 46 对于下列每个微分方程，写出微分算子 $L$ 使该方程能够表示为 $L[x(t)] = 0$ :

• 47 下列哪两组是线性相关的，哪些是线性无关的？

• (b) ${1 + t, t^2, t^2 - t, 1 - t^2}$

  48 对于下列每组线性相关的函数，求 $k_1, k_2, \dots$ 使得 $k_1 f_1 + k_2 f_2 + \dots = 0$ .

• 对于下列每个微分方程，写出微分算子 $L$ 使该方程能够表示为 $L[x(t)] = 0$ :

  (a) $\frac{dx}{dt} + t^2x = 0$      (b) $\frac{dx}{dt} = 6xt^2$

  (c) $\frac{dx}{dt} - kx = 0$

  下列哪两组是线性相关的，哪些是线性无关的？

  (a) ${1, t, t^2, t^3, t^4, t^5, t^6}$

  (b) ${1 + t, t^2, t^2 - t, 1 - t^2}$

  对于下列每组线性相关的函数，求出 $k_1, k_2, \dots$ 使得 $k_1f_1 + k_2f_2 + \dots = 0$ .

  (a) ${t + 1, t, 2}$      (b) ${t^2 - 1, t^2 + 1, t - 1, t + 1}$

  (a) $\frac{dx}{dt} = f(t)x$

  (b) $\frac{d^3x}{dt^3} + (\sin t) \frac{d^2x}{dt^2} + 4t^2x = 0$

  (c) $\frac{d^2x}{dt^2} + (\sin t) \frac{dx}{dt} = (t + \cos t)x$

  (d) $(\sin t) \frac{dx}{dt} = \frac{\cos t}{t}x$

  (e) $\frac{dx}{dt} = \frac{bx}{t}$      (f) $\frac{dx}{dt} = xte^{t^2}$

  (g) $\frac{d}{dt} \left( t^2 \frac{dx}{dt} \right) = t \frac{d}{dt}(xt)$

  (h) $\frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(t^2x) \right] = xt$

10.8.3 练习