50 判断下列各组函数哪些线性相关，哪些线性无关？

(a) $${\sin t + 2 \cos t, \sin t - 2 \cos t, 2 \sin t + \cos t, 2 \sin t - \cos t}$$

(b) $${\sin t, \cos t, \sin 2t, \cos 2t, \sin 3t, \cos 3t}$$

(c) $${1 + 2t, 2t - 3t^2, 3t^2 + 4t^3, 4t^3 - 5t^4}$$

(d) $${1 + 2t, 2t - 3t^2, 3t^2 + 4t^3, 4t^3}$$

(e) $${1, 1 + 2t, 2t - 3t^2, 3t^2 + 4t^3, 4t^3}$$

(f) $${\ln a, \ln b, \ln ab}$$

(g) $${e^s, e^t, e^{s+t}}$$

(h) $${e^t, e^{2t} - e^t, e^{3t} - e^{2t}, e^{2t}}$$

(i) $${f(t), f(t) - g(t), f(t) + g(t)}$$

(j) $${1 - 2t^2, t - 3t^3, 2t^2 - 4t^4, 3t^3 - 5t^5}$$

(k) $${1, 1 + t, 1 + t + t^2, 1 + t + t^2 + t^3}$$

51 对下列每组线性相关的函数，求 $k_1, k_2, \dots$ 使得 $k_1f_1 + k_2f_2 + \dots = 0$ :

(a) $${\sin t, \cos t + \sin t, \cos 2t - \sin t, \cos t - \cos 2t}$$

(b) $${t + t^3, t - t^2, t^2 + 2t^3, t^2 - t^3}$$

(c) $${\ln t, \ln 2t, \ln 4t^2}$$

(d) $${f(t) + g(t), f(t)(1 + f(t)), g(t) - f(t), f(t)^2 - g(t)}$$

(e) $${1 + t + 2t^2, t - 2t^2 + 3t^3, 1 + t - 2t^2, t - 2t^2 - 3t^3, t^3}$$

52 判断给定集合中哪些成员是下列微分方程的解。因此，在每种情况下，写出该微分方程的通解。

$$(a) a ) \quad \frac{d^4 x}{dt^4} = 0 \quad {1, t, t^2, t^3, t^4, t^5, t^6}$$

(b) $$\frac{d^2 x}{dt^2} - p^2 ^2 x = 0 \quad {e^{pt}, e^{-pt}, \cos pt, \sin pt}$$

$$(c) \quad \frac{d^4 x}{dt^4} - p^4 x = 0$$

$${e^{pt}, e^{-pt}, \cos pt, \sin pt, \cosh pt, \sinh pt}$$

$$(d) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} = 0$$

$${\cos 2t, \sin 2t, e^{-2t}, e^{2t}, t^2, t, 1}$$

$$(e) \quad \frac{d^3 x}{dt^3} + 4 \frac{dx}{dt} = 0$$

$${\cos 2t, \sin 2t, e^{-2t}, e^{2t}, t^2, t, 1}$$

$$(f) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + x = 0$$

$${\mathbf{e}^t, \mathbf{e}^{-t}, \mathbf{e}^{2t}, \mathbf{e}^{-2t}, t\mathbf{e}^t, t\mathbf{e}^{-t}, t\mathbf{e}^{2t}, t\mathbf{e}^{-2t}}$$

$$(g) \frac{d^3x}{dt^3} - \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} + x = 0$$

$${\mathbf{e}^t, \mathbf{e}^{-t}, \mathbf{e}^{2t}, \mathbf{e}^{-2t}, t\mathbf{e}^t, t\mathbf{e}^{-t}, t\mathbf{e}^{2t}, t\mathbf{e}^{-2t}}$$

53 算子 L 和 M 定义为

$$L = \frac{d^2}{dt^2} - 4t \frac{d}{dt} + 6t^2$$

以及

$$M = \frac{1}{t} \frac{d}{dt} - e'$$

求 $L[M[x(t)]]$ 。由此写出算子 LM。求 $M[L[x(t)]]$ 。LM = ML 是否成立？

54 算子 L 和 M 定义为

$$L = f_1(t) \frac{d}{dt} + g_1(t)$$

以及

$$M = f_2(t) \frac{d}{dt} + g_2(t)$$

求算子 LM 和 ML 的表达式。在什么条件下， $f_1, g_1, f_2$ 和 $g_2$ 满足 LM = ML？你认为线性微分算子必须满足什么条件才能交换？