10.9 线性常系数微分方程

10.9.1 线性齐次常系数方程

在工程实践中较常出现的一类线性方程是线性常系数方程。这类方程是线性方程，其中因变量及其导数的系数不依赖于自变量，而是常数。鉴于这类方程出现的频率之高，以及产生这类方程的问题的重要性，幸运的是它们相对容易求解。

我们将通过首先考虑二阶线性齐次常系数方程来演示这类方程的求解方法。其最一般的形式为

$$a \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + cx = 0, \quad a \neq 0 \quad (10.37)$$

现在，一阶线性齐次常系数方程的解

$$a \frac{dx}{dt} + bx = 0, \quad a \neq 0$$

为

$$x = Ae^{mt}, \quad \text{where } am + b = 0$$

让我们通过类比，尝试用函数 $x(t) = e^{mt}$ 作为二阶方程 (10.37) 的解。直接代入可得

$$am^2 e^{mt} + bm e^{mt} + ce^{mt} = 0$$

即

$$(am^2 + bm + c)e^{mt} = 0$$

因此 $e^{mt}$ 是方程的解，只要

$$am^2 + bm + c = 0 \quad (10.38)$$

假设这个二次方程的根为 $m_1$ 和 $m_2$ 。然后 $e^{m_1t}$ 和 $e^{m_2t}$ 是该微分方程的解。由于它是一个线性齐次方程，通解必定为

$$x(t) = Ae^{m_1t} + Be^{m_2t} \quad (10.39)$$

前提是 $m_1 \neq m_2$ 。

(10.37) 的解的形式看似简单。我们知道二次方程的根会呈现以下三种形式之一：

1. 两个不同的实数；
2. 一对共轭复数；
3. 一个重根（必定为实数）。