在第一种情况下，解如 (10.39) 所示。在第二种情况下，根可以写为

$$m_1 = \phi + j\psi \quad \text{and} \quad m_2 = \phi - j\psi$$

其中 $\phi$ 和 $\psi$ 为实数，因此解为

$$\begin{aligned} x(t) &= Ae^{(\phi+j\psi)t} + Be^{(\phi-j\psi)t} \ &= e^{\phi t}(Ae^{j\psi t} + Be^{-j\psi t}) \ &= e^{\phi t}[A(\cos \psi t + j \sin \psi t) + B(\cos \psi t - j \sin \psi t)] \ &= e^{\phi t}[(A + B)\cos \psi t + j(A - B)\sin \psi t] \end{aligned}$$

利用欧拉公式 (3.9)。记 $A + B = C$ 和 $j(A - B) = D$ ，我们有

$$x(t) = e^{\phi t}(C \cos \psi t + D \sin \psi t)$$

在第三种情况下，两个根 $m_1$ 和 $m_2$ 相等，比如说等于 $k$ ；因此解 (10.39) 化为

$$x(t) = Ae^{kt} + Be^{kt} = Ce^{kt}$$

在这种情况下，两个解不是线性无关的，所以我们还没有得到 (10.37) 的完整解。在这种情况下，可以通过使用试探解得到完整解 $x(t) = t^p e^{mt}$ 。为了使 (10.38) 有重根 $m = k$ ，(10.37) 中的常数必须使得 (10.37) 具有如下形式

$$a \frac{d^2 x}{dt^2} - 2ak \frac{dx}{dt} + ak^2 x = 0$$

将试探解代入该方程得到

a[p(p − 1)t p−2 emt + 2mpt ^p−¹ emt + m² t p emt] − 2ak(pt ^p−¹ emt + mt ^p emt) + ak² t p emt = 0

即

$$p(p - 1) + 2mpt + m^2t^2 - 2k(pt + mt^2) + k^2t^2 = 0$$

或

$$p(p-1) + 2(m-k)pt + (m-k)^2t^2 = 0$$

该方程对所有 $t$ 的值都成立，若 $m = k$ 且 $p = 1$ 或 $p = 0$ 。因此 $te^k$ 和 $e^{kt}$ 是该微分方程的两个解。这两个函数线性无关，所以在两重根情形下的通解为

$$x(t) = Ate^{kt} + Be^{kt} = (At + B)e^{kt}$$

显然，将试探解代入微分方程 (10.37) 所得到的 (10.38) 的解决定了后一方程解的形式。方程 (10.38) 是原方程的一个重要辅助工具，被称为微分方程 (10.37) 的特征方程。它有时也被称为辅助方程。