总结

要求解二阶线性齐次常系数微分方程

$$a \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + cx = 0, \quad a \neq 0$$

首先写出特征方程

$$am^2 + bm + c = 0$$

并求出它的根 m1 和 m2。然后，如果两个根是

• 互不相等的实数，则对应的解为

$$x(t) = Ae^{m_1 t} + Be^{m_2 t}$$

• 都等于 k，则对应的解为

$$x(t) = (At + B)e^{kt}$$

• 共轭复数 $\phi \pm j\psi$ 则对应的解为

$$x(t) = e^{\phi t}(C \cos \psi t + D \sin \psi t)$$

例 10.34 求方程的通解

$$\frac{d^2x}{dt^2} - 9\frac{dx}{dt} + 6x = 0$$

解 特征方程为

$$m^2 - 9m + 6 = 0$$

特征方程为

$$m^2 - 9m + 6 = 0$$ 该方程的根为 $m = 4.5 \pm \frac{1}{2}\sqrt{57}$ ，或保留两位小数为， $m_1 = 8.27$ 和 $m_2 = 0.73$ 。因此解为

$$x(t) = Ae^{8.27t} + Be^{0.73t}$$

例 10.35 求方程的通解

$$2 \frac{d^2 x}{dt^2} - 3 \frac{dx}{dt} + 5x = 0$$

解 特征方程为

$$2m^2 - 3m + 5 = 0$$

特征方程为

$$2m^2 - 3m + 5 = 0$$ 该方程的根为 $m = \frac{1}{4}(3 \pm j\sqrt{31})$ ，或保留两位小数为， $m_1 = 0.75 + j1.39$ 和 $m_2 = 0.75 - j1.39$ . 因此解为

( $\hat{m} = -0.75\sqrt{4} + j1.39 + j1.39$ )

$$x(t) = e^{0.75t}(A \cos 1.39t + B \sin 1.39t)$$