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解 我们同样先求一个特积分。本例中右端函数为 e4*t* 。由于 e4*t* 的所有导数都是 e4*t* 的倍数，试探函数 Pe4*t* 似乎合适。于是直接代入可得
$$16Pe^{4t} + 20Pe^{4t} - 9Pe^{4t} = e^{4t}$$
令该等式左右两边 e4*t* 的系数相等，得到
$$27P = 1$$
所以特积分为
$$x(t) = \frac{1}{27} e^{4t}$$
余函数与例 10.40 中的相同。
$$Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$
因此该方程的通解为
$$Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$ 该方程的通解为 $$x(t) = \frac{1}{27} e^{4t} + Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$
例 10.40–10.42 展示了如何处理最常见的右端函数。在每种情况下，都会选择一个试探解函数来匹配右端函数。试探解函数包含未知参数，通过将试探解代入微分方程并匹配方程的左右两端来确定这些参数。图 10.19 总结了所使用的标准试探函数。
尽管我们上面给出的例子都涉及二阶方程的求解，但图 10.19 中给出的用于求特解的试探解适用于任意阶的线性非齐次常系数微分方程。
| 右端函数 | 试探函数 | 未知参数 |
|---|---|---|
| 多项式 $t$ 次数为 $p$ ，例如 | 多项式 $t$ 次数为 $p$ , 例如 | 多项式的系数，例如 |
| $6t^3 + 4t^2 - 2t + 5$ | $Pt^3 + Qt^2 + Rt + S$ | $P$ , $Q$ , $R$ 和 $S$ |
| 的指数函数 $t$ , 例如 | 的指数函数 $t$ 具有相同指数，例如 | 指数函数的系数，例如 |
| $e^{-3t}$ | $Pe^{-3t}$ | $P$ |
| 的倍数的正弦或余弦 $t$ , 例如 | 同一倍数的正弦与余弦的线性组合 $t$ ，例如 | 正弦项与余弦项的系数，例如 |
| $\sin 5t$ | $P$ 和 $Q$ | |
| $P \sin 5t + Q \cos 5t$ |
图 10.19 特解的试探函数。