如果右端是这些函数中不止一个的线性组合，那么适当的试探函数就是构成右端各项所对应的试探函数之和。这可以从线性方程的性质看出，如下述原理所述：

若 L 是线性微分算子，且 x1 是方程

$$L[x(t)] = f_1(t)$$

的解，x2 是方程

$$L[x(t)] = f_2(t)$$

的解，则 $x_1 + x_2$ 是方程

$$L[x(t)] = f_1(t) + f_2(t)$$

的解。这个结果可以很容易地证明如下。由于 L 是线性算子

$$\begin{aligned} \text{L}[x_1 + x_2] &= \text{L}[x_1] + \text{L}[x_2] \ &= f_1(t) + f_2(t) \end{aligned}$$

因此 $x_1 + x_2$ 是 $L[x] = f_1(t) + f_2(t)$ 的解。

例 10.43 求方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 5\frac{dx}{dt} - 9x = e^{-2t} + 2 - t$$

的通解。解 首先我们求特积分。由于右端是一个指数函数与一个一次多项式之和，该方程的试探函数为

$$Pe^{-2t} + Q + Rt$$

于是，通过直接代入

$$4Pe^{-2t} + 5(-2Pe^{-2t} + R) - 9(Pe^{-2t} + Q + Rt) = e^{-2t} + 2 - t$$

比较该等式左右两边的 $e^{-2t}$ 、1 和 $t$ 的系数，可得

$$-15P = 1$$

$-9Q + 5R = 2$
$-9R = -1$

因此特积分为

$$x(t) = -\frac{1}{15}e^{-2t} - \frac{13}{81} + \frac{1}{9}t$$ 余函数为 $Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$

余函数与例 10.40 相同，

$$Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$

所以该方程的通解为

$$x(t) = -\frac{1}{15}e^{-2t} - \frac{13}{81} + \frac{1}{9}t + Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$