对于快速运动的物体。然而，对于以适中速度运动的物体，通常采用空气阻力与速度成正比的假设。

对于悬臂梁和浮标的情况，我们同样可以假设存在一种与运动速度成正比的运动阻力。同样，这些并非唯一可能的假设，但在适当的情况下，它们是合理的。对这类物理系统建模的指导原则是找出阻力的物理来源，并尝试描述其行为。这不是一个数学问题，而是一个数学建模问题，工程师必须运用其物理、工程以及数学方面的知识，才能对现实得出恰当的数学描述。

构建许多其他工程情境的模型也会导出与 (10.48) 类似的方程。基本上，任何一种情形，只要某个质量的运动是由两种力的合力引起的——一种是与相对于某一固定位置的位移成正比的、对抗位移的力，另一种是与运动速度成正比的、阻碍运动的力——都会导出如下形式的方程

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -\mu \frac{dx}{dt} - \lambda x$$

即

$$\frac{d^2x}{dt^2} + p \frac{dx}{dt} + qx = 0 \quad (10.49)$$

其中

$$p = \frac{\mu}{m} \quad \text{and} \quad q = \frac{\lambda}{m}$$

必须有 $p > 0$ 以及 $q > 0$ ，因为这两个力分别对抗位移和运动。由 10.10.1 节可知，(10.49) 的解为

$$x(t) = Ae^{m_1 t} + Be^{m_2 t}$$

其中 m1 和 m2 是特征方程的根

$$m^2 + pm + q = 0$$

出于即将显现的原因，将 (10.49) 化为标准形式是比较方便的

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega\frac{dx}{dt} + \omega^2x = 0 \quad (10.50)$$

其中，由于 $p, q > 0$ ，所以也是 $\zeta$ 和 $\omega$ 。特征方程为 $m^2 + 2\zeta\omega m + \omega^2 = 0$ ，其根为

$$m = \begin{cases} -\zeta\omega \pm (\zeta^2 - 1)^{1/2}\omega & (\zeta > 1) \ -\omega \text{ (twice)} & (\zeta = 1) \ -\zeta\omega \pm j(1 - \zeta^2)^{1/2}\omega & (0 < \zeta < 1) \end{cases}$$